集合表达式化简疑问：能否转逻辑表达式进行机械化简？

当然可以把集合表达式转换成逻辑表达式来化简！集合运算和逻辑运算天生是一一对应的：

• 集合的交集对应逻辑与（∧）
• 集合的并集对应逻辑或（∨）
• 集合的补集对应逻辑非（¬）
• 元素属于某集合的命题，对应逻辑命题的真假值

所以你完全可以把集合表达式转化为逻辑表达式后，用逻辑运算定律机械化简。下面就针对你给出的逻辑表达式(A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B)，给出两种化简路径，包括补完你卡住的推导过程：

高效化简路径（提取公因式） #

这是最直接的方法，用到两个核心逻辑定律：

1. 分配律（提取公因式形式）：对任意命题P、Q、R，(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) ⇔ P ∧ (Q ∨ R)
   把P=A，Q=¬B，R=B代入，得到：
   (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) ⇔ A ∧ (¬B ∨ B)
2. 排中律：对任意命题Q，Q ∨ ¬Q ⇔ 真（永真式，对应集合中的全集）
   代入后式子变为：
   A ∧ 真 ⇔ A

补完你卡住的推导路径（∨对∧的分配律） #

你之前用的是∨对∧的分配律，虽然绕但也能得到结果，咱们把卡住的部分补全：

1. 你已经推到这一步：
   (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) ⇔ ((A ∧ ¬B) ∨ A) ∧ ((A ∧ ¬B) ∨ B)
2. 化简左边的(A ∧ ¬B) ∨ A：
   用吸收律：P ∨ (P ∧ Q) ⇔ P（这里P=A，Q=¬B），直接得到A
3. 化简右边的(A ∧ ¬B) ∨ B：
   先用分配律展开：(A ∨ B) ∧ (¬B ∨ B)
   再用排中律把¬B ∨ B替换为真，得到(A ∨ B) ∧ 真 ⇔ A ∨ B
4. 现在式子变成A ∧ (A ∨ B)，再用一次吸收律：P ∧ (P ∨ Q) ⇔ P（这里P=A，Q=B），最终得到A

对应回集合表达式的结论 #

把逻辑化简的结果转回到集合运算：
(A ∩ \overline{B}) ∪ (A ∩ B) ⇔ A ∩ (B ∪ \overline{B}) ⇔ A ∩ 全集 ⇔ A，和你推导的结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Philip Kuo