域扩张中，素子域对应的Emb_E(K,L)与Hom(K,L)是否相等？

设$E \subset K$，$E \subset L$为域扩张。记$Hom(K,L)$为从K到L的同态映射集合，$Emb_E(K,L)$为从K到L且在E上限制为恒等映射的同态映射集合。当E是K和L的素子域时，是否有$Emb_E(K,L)$=$Hom(K,L)$？注：左包含于右是显然的，问题在于是否每个同态都固定素子域E。证明思路：任意同态必固定1，因此必固定素子域，该思路是否正确？

你的这个证明思路完全正确，下面我来拆解一下关键细节：

• 域同态必然固定单位元：对于任意域同态$\varphi: K \to L$，根据域同态的乘法保持性，$\varphi(1_K) = \varphi(1_K \cdot 1_K) = \varphi(1_K)^{2$。在域$L$中，方程$x}2 = x$只有两个解：$0$和$1_L$。但$\varphi$不能是零同态（否则对任意$a \in K$，$\varphi(a) = \varphi(a \cdot 1_K) = \varphi(a)\varphi(1_K) = 0$，这不符合域同态的非平凡性要求，且域的同态要么是单射要么是零同态，我们讨论的$Hom(K,L)$通常只包含非平凡同态），因此$\varphi(1_K) = 1_L$，也就是同态固定单位元。

• 素子域由单位元生成：素子域是域中最小的子域，完全由单位元$1$生成：

  • 若域的特征为$0$，素子域同构于$\mathbb{Q}$，所有元素都可以表示为$\frac{m \cdot 1}{n \cdot 1}$（$m,n$为整数，$n \neq 0$）；
  • 若域的特征为素数$p$，素子域同构于$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，所有元素是$0, 1, 2\cdot1, ..., (p-1)\cdot1$。

• 同态固定整个素子域：既然$\varphi$固定$1$，那么对于任意整数$m$，$\varphi(m \cdot 1_K) = m \cdot \varphi(1_K) = m \cdot 1_L$；对于特征0的情况，$\varphi\left(\frac{m \cdot 1_K}{n \cdot 1_K}\right) = \frac{\varphi(m \cdot 1_K)}{\varphi(n \cdot 1_K)} = \frac{m \cdot 1_L}{n \cdot 1_L}$，这就意味着$\varphi$在素子域$E$上的限制是恒等映射。

综上，当$E$是$K$和$L$的素子域时，$Emb_E(K,L) = Hom(K,L)$，你的思路精准抓住了问题的核心。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SSF