线性代数习题求解：求det(aIₙ+bJₙ)的值

嘿，这个行列式问题我刚好之前琢磨过，不用归纳法的话，用特征值来解简直是绝配！咱们一步步来拆解：

首先得先搞懂全1矩阵Jₙ的特性，它的特征值是关键：

• Jₙ是所有元素都为1的n阶矩阵，它的特征值很清晰：
  • 一个特征值是n，对应的特征向量是全1向量（比如[1,1,...,1]^T，代入Jₙv的话，结果就是n*v）；
  • 剩下的n-1个特征值都是0，因为Jₙ的秩是1，所以零空间维度是n-1，对应n-1个线性无关的特征向量。
• 接下来看目标矩阵M = aIₙ + bJₙ：如果λ是Jₙ的特征值，那么a + bλ就是M的特征值（这是矩阵线性组合的特征值性质，很实用）。所以：
  • 对应Jₙ的特征值n，M的特征值是a + n*b；
  • 对应Jₙ的n-1个0特征值，M的特征值都是a + b*0 = a，共n-1个。
• 矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，所以直接计算：
  det(aIₙ + bJₙ) = a^(n-1) * (a + n*b)

从你描述的ℝ₁:R→R且ℝ₁(x)=b来看，这是一个常值函数——不管输入的实数x是什么，输出都固定为b。结合这个行列式的问题，大概率是教材里推导时引入的辅助符号：

• 可能是用来强调bJₙ中所有元素都是b，不管“位置变量”x（比如矩阵的行列索引）取什么，对应位置的值都是b；
• 也有可能是教材里的符号简化，把b定义为一个不随变量x（比如你可能把a当成变量x）变化的常数，用这个常函数来明确b的固定性。

如果是教材里的特殊定义，你可以再结合上下文看看，但从字面定义来说，它就是个输出恒为b的常函数，和行列式问题结合的话，就是用来指代bJₙ中元素的固定值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Oscar Alarcon