原子单C*-代数是否为冯·诺依曼代数？及相关拓展问题

先给直接结论：不一定。满足你描述的所有条件的幺正单C*-代数，未必是冯·诺依曼代数，自然也未必同构于某个希尔伯特空间$H$上的$B(H)$。

咱们来一步步拆解分析：

首先明确你给出的核心条件：

• $A$是幺正C*-代数；
• 投影的线性张在范数下稠密（这意味着$A$是“投影丰富”的代数，很多结构性质可以通过投影来刻画）；
• 每个投影下方都存在原子投影（即$A$是原子C*-代数，原子投影指的是没有非零真子投影的投影）；
• $A$是单代数（无非平凡闭双侧理想，幺正单C*-代数的中心只能是$\mathbb{C}1$，所以确实没有非平凡中心元）。

你提到了Kaplansky的结果，这里需要补充完整：Kaplansky证明的是单原子AW*-代数必是I型冯·诺依曼因子（也就是同构于$B(H)$）。但这里的关键是，AW*-代数是比普通C*-代数更强的结构——AW*-代数要求每个正交投影族都有上确界，同时每个极大交换子集都是冯·诺依曼代数，而普通C*-代数并不一定满足这些条件。

那有没有具体的反例？当然有：
比如，我们可以构造一个幺正单原子C*-代数，其中存在某个正交投影族没有上确界——这样的代数就不是AW*-代数，自然也不可能是冯·诺依曼代数（毕竟所有冯·诺依曼代数都是AW*-代数）。更具体一点，考虑无限维希尔伯特空间$H$，取$B(H)$中一个不可约的幺正表示的像，这个像如果是$B(H)$的真子代数，那么它就是单的（因为不可约表示的核是闭理想，单C-代数的核只能是0，所以像代数单），同时包含秩1投影（满足原子性），投影的线性张在范数下稠密，而且是幺正的，但它在$B(H)$中不是弱算子拓扑闭的——而冯·诺依曼代数的核心特征就是在弱算子拓扑下闭，所以这个像代数就不是冯·诺依曼代数。

再总结一下：

• 如果把条件强化到$A$是AW*-代数，那么Kaplansky的结论成立，$A$一定是$B(H)$；
• 但如果只是普通C*-代数，哪怕满足你列出的所有条件，也存在不是冯·诺依曼代数的例子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John