数论求证：若p∤a，则a^p²≡a^p mod p²的证明方法

嘿，咱们来一步步捋清楚这个证明过程，你已经用到费马小定理了，其实只要把这个结论再延伸一下就能得到目标结果：

首先明确前提：p是质数，且p∤a（即gcd(a,p)=1）。

方法一：二项式定理展开法 #

1. 由费马小定理，我们知道 a^p ≡ a mod p，这意味着我们可以把 a^p 写成整数等式的形式：
   a^p = a + m*p，其中m是某个整数。
2. 我们要证的 a^{p²} 其实就是 (a^p)^p，把上面的等式代入进去，得到：
   a^{p²} = (a + m*p)^p
3. 用二项式定理展开这个式子：

   (a + m*p)^p = C(p,0)a^p + C(p,1)a^{p-1}(m*p) + C(p,2)a^{p-2}(m*p)^2 + ... + C(p,p)(m*p)^p
   

4. 现在分析每一项模 p² 的结果：
   • 第一项：C(p,0)a^p = a^p，这一项直接保留。
   • 第二项：C(p,1)a^{p-1}(m*p) = p * a^{p-1} * m*p = m*p²*a^{p-1}，显然这是 p² 的倍数，模 p² 等于0。
   • 第三项及以后的项：对于 i≥2，组合数 C(p,i) 是p的倍数（因为p是质数，分子含p因子，分母不含），而 (m*p)^i 是 p^i 的倍数（i≥2时，p^i 是 p² 的倍数），所以这些项都是 p*p² = p³ 的倍数，自然也能被 p² 整除，模 p² 等于0。
5. 把所有项加起来，就得到：(a + m*p)^p ≡ a^p mod p²，也就是 a^{p²} ≡ a^p mod p²，目标结论得证。

方法二：欧拉定理快速推导 #

如果你熟悉欧拉定理的话，这个证明会更简洁：

• 欧拉函数 φ(p²) = p(p-1)，因为p是质数。
• 由于 p∤a，所以 gcd(a,p²)=1，根据欧拉定理：a^{φ(p²)} ≡ 1 mod p²，也就是 a^{p(p-1)} ≡ 1 mod p²。
• 我们可以把 a^{p²} 拆成 a^{p(p-1)+p} = a^{p(p-1)} * a^p，代入上面的结论：
  a^{p²} ≡ 1 * a^p mod p²，直接得到 a^{p²} ≡ a^p mod p²。

这样两种方法都能帮你从已有的思路推导到目标结论啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zhenqing Xu