寻找有限n阶复幂零矩阵集合：每个复幂零矩阵仅相似于其中唯一矩阵

嘿，先帮你戳破一个关键误区：并不是所有幂零矩阵都彼此相似！这正是你疑惑的核心所在～

幂零矩阵的相似类是由它的若尔当标准形唯一确定的。所有幂零矩阵的特征值确实全为0，但特征值相同只是相似的必要条件，而非充分条件——不同的若尔当块组合会产生完全不同的相似类，而这些相似类的总数是有限的。

• 先回忆幂零矩阵的若尔当标准形：它是由若干个幂零若尔当块组成的分块对角矩阵，每个k阶幂零若尔当块的形式为：
  $J_k = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$
• 对于n×n矩阵，所有若尔当块的阶数之和必须等于n。比如n=3时，可能的若尔当标准形有3种：
  1. 单个3阶若尔当块 $J_3$
  2. 一个2阶块+一个1阶块 $\text{diag}(J_2, J_1)$
  3. 三个1阶块 $\text{diag}(J_1, J_1, J_1)$（也就是零矩阵）
• 这些不同的若尔当标准形的数量，等于n的整数分拆数——也就是把n拆成若干正整数之和的不同方式的总数，这个数是有限的（比如n=4时，整数分拆数是5，对应5个幂零相似类）。

把所有对应n的整数分拆的若尔当标准形收集起来，就得到了你要的有限集合。每个n×n复幂零矩阵恰好相似于集合中的一个矩阵：

• 一方面，任何幂零矩阵都相似于唯一的若尔当标准形（我们可以固定块的排列顺序，比如按阶数从大到小排列，避免因块的顺序不同导致的重复）；
• 另一方面，不同的若尔当标准形属于不同的相似类，不会有重叠。

你之前误以为所有幂零矩阵都相似，大概率是把“特征值全为0”这个性质和“相似”划了等号。其实相似矩阵需要满足更多条件：比如它们的不变因子、初等因子完全相同，而若尔当标准形就是这些因子的直观可视化形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user285936