如何证明对称分布中样本均值$ar{x}$与样本中位数$ ilde{x}$相等？

一、你的对称样本定义是否合理？ #

首先得明确：你给出的这个定义，是针对样本关于中位数的对称，完全合理，非常贴合离散样本对称的直观感受。

我们可以再细化理解：

• 对于离散样本来说，绝对频数$f(x)$就是某个值出现的次数。你定义的「对任意数c，$f(\tilde{x}+c)=f(\tilde{x}-c)$」，本质上是说：样本里每出现一个比中位数大c的数，就会对应出现一个比中位数小c的数，且出现次数完全一致；如果中位数本身出现多次（比如样本里有多个等于$\tilde{x}$的观测值），这些值的频数不影响对称性，因为它们在中心位置。

如果拓展到总体分布的对称，通常的定义会更偏向概率层面：比如连续分布的概率密度函数$f(x)$满足$f(\mu + c)=f(\mu - c)$（$\mu$是总体中位数/均值），离散分布的概率质量函数$P(X=\mu + c)=P(X=\mu - c)$，这和你的样本定义逻辑完全一致——只是一个针对样本观测，一个针对总体概率。

二、如何证明样本均值$\bar{x}$与中位数$\tilde{x}$相等？ #

我们可以用「偏差求和」的思路来推导，非常直观：

1. 先把每个观测值都写成「中位数 + 偏差」的形式：也就是对每个$x_i$，令$x_i = \tilde{x} + d_i$，这里的$d_i$就是$x_i$相对于中位数$\tilde{x}$的偏差（可能是正、负，或者0）。
2. 样本均值的计算式可以转化为：
   $$
   \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\tilde{x} + d_i) = \tilde{x} + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i
   $$
   这一步就是把总和拆成了中位数的总和加上偏差的总和，再除以n。
3. 现在看偏差的总和$\sum d_i$：
   • 根据你定义的对称性，每出现一个正偏差$+d$（也就是有一个数比中位数大d），就一定会出现相同次数的负偏差$-d$（对应一个数比中位数小d），这一组的和就是$d + (-d) = 0$；
   • 至于那些等于中位数的观测值，它们的偏差是0，加起来还是0，不会影响总和。
   • 所以所有偏差加起来的结果必然是0。
4. 把$\sum d_i = 0$代入上面的式子，就得到$\bar{x} = \tilde{x} + 0 = \tilde{x}$，完美证明了两者相等。

举个实际例子验证下：比如样本是[1,3,5,7,9]，中位数是5，均值也是5；再比如样本是[2,2,4,6,6,8]，中位数是(4+6)/2=5，均值算出来是(2+2+4+6+6+8)/6=5，完全符合结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sasaki