已知一类划分概率与条件概率，能否推导另一划分的概率分布？

答案是不一定，这完全取决于由条件概率构成的矩阵特性，以及联立方程组的解是否符合概率的基本公理。下面详细拆解这个问题：

核心思路：用全概率公式构建线性关系 #

我们可以通过全概率公式，把已知的$P(E_i)$和未知的$P(H_j)$直接关联起来：
对于每个划分元素$E_i$，有：

$P(E_i) = \sum_{j=1}^n P(H_j) \cdot P(E_i|H_j)$

同时，H作为样本空间的划分，还必须满足概率和为1的约束：

$\sum_{j=1}^n P(H_j) = 1$

把所有全概率方程和这个约束联立，就形成了一个包含$n$个未知数（$P(H_1), P(H_2), ..., P(H_n)$）的线性方程组，我们只需要分析这个方程组的解即可。

两种关键场景 #

1. 能得到唯一合法的H分布 #

如果由条件概率$P(E_i|H_j)$构成的$n \times n$矩阵$M$（其中$M[i][j] = P(E_i|H_j)$）是可逆矩阵，并且联立方程组后得到的解满足：

• 所有$P(H_j) \geq 0$（概率不能为负）
• $\sum P(H_j) = 1$（划分的概率和必须为1）

那么我们就能唯一确定H的概率分布。比如n=2的简单例子：
假设$P(E_1)=a$，$P(E_1|H_1)=p$，$P(E_1|H_2)=q$，且$p≠q$，可以直接解出：
P(H1) = (a - q)/(p - q)，P(H2) = 1 - P(H1)，只要这个结果落在[0,1]区间内，就是合法的唯一解。

2. 无解或解不唯一 #

• 解不唯一：如果矩阵$M$不可逆（比如行向量线性相关），可能存在无穷多组满足方程组的解。比如n=2时，若$p=q$（即$P(E_1|H_1)=P(E_1|H_2)$），此时全概率方程变成$a = x\cdot p + (1-x)\cdot p = p$，如果$a=p$，那么$x$可以取[0,1]内的任意值，H的分布完全不唯一；
• 无解：还是上面的n=2场景，如果$p=q$但$a≠p$，方程就没有解——这说明给定的条件概率和E的概率相互矛盾，不存在对应的H分布。

总结 #

只有当条件概率矩阵可逆，且方程组的解符合概率的非负性和求和约束时，才能唯一推导出H的概率分布；否则要么解不唯一，要么根本不存在合法的H分布。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者King Kong