使用除法重新表示复多项式：z³+2转化为指定形式的方法咨询

嘿，这个问题其实有好几种比线性代数更直接的简便方法，我给你详细拆解下：

令 ( t = z - 1 )，那么 ( z = t + 1 )，把它代入原多项式 ( z^3 + 2 )：
$$
\begin{align*}
z^3 + 2 &= (t+1)^3 + 2 \
&= t^3 + 3t^2 + 3t + 1 + 2 \
&= t^3 + 3t^2 + 3t + 3
\end{align*}
$$
再把 ( t = z-1 ) 代回去，直接得到目标形式：
$$
3 + 3(z-1) + 3(z-1)^2 + (z-1)^3
$$
对应的系数就是 ( a_0=3, a_1=3, a_2=3, a_3=1 )，全程不用解方程组，一步到位。

因为多项式在任意点的泰勒展开就是它本身的另一种幂次形式，而多项式的泰勒展开是有限项的，系数可以通过导数快速计算：
对于多项式 ( f(z) = z^3 + 2 )，展开到 ( (z-1)^n ) 的系数公式为：
$$
a_n = \frac{f^{(n)}(1)}{n!}
$$

• 常数项 ( a_0 = f(1) = 1^3 + 2 = 3 )
• 一阶项系数 ( f'(z) = 3z^2 )，所以 ( a_1 = \frac{f'(1)}{1!} = \frac{3 \times 1^2}{1} = 3 )
• 二阶项系数 ( f''(z) = 6z )，所以 ( a_2 = \frac{f''(1)}{2!} = \frac{6 \times 1}{2} = 3 )
• 三阶项系数 ( f'''(z) = 6 )，所以 ( a_3 = \frac{f'''(1)}{3!} = \frac{6}{6} = 1 )
  更高阶的导数都是0，所以直接得到结果，这个方法对次数更高的多项式也同样适用。

如果想一步步推导系数，也不用列复杂的线性方程组，直接代入特殊值就能解：
设 ( f(z) = a_0 + a_1(z-1) + a_2(z-1)^2 + a_3(z-1)^3 )

1. 令 ( z=1 )，右边只剩下 ( a_0 )，所以 ( a_0 = f(1) = 3 )
2. 对等式两边求导：( f'(z) = a_1 + 2a_2(z-1) + 3a_3(z-1)^2 )，再令 ( z=1 )，得 ( a_1 = f'(1) = 3 )
3. 再次求导：( f''(z) = 2a_2 + 6a_3(z-1) )，令 ( z=1 )，得 ( 2a_2 = f''(1) = 6 )，解得 ( a_2=3 )
4. 第三次求导：( f'''(z) = 6a_3 )，所以 ( 6a_3 = f'''(1) = 6 )，解得 ( a_3=1 )
   这个思路本质和泰勒展开一致，但更偏向于手动逐步求解的逻辑，也比线性代数方法简单。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Peetrius