求解2×2矩阵的逆矩阵：行变换结果存疑，求正确方法

首先，咱们先明确目标矩阵$A = \begin{bmatrix}8&-3\-4&-7\end{bmatrix}$，我先带你一步步用行变换法推导正确的逆矩阵，再用公式法验证，最后看看你哪里出错了。

方法一：增广矩阵行变换法 #

构造增广矩阵$[A|I]$，其中$I$是2×2单位矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc|cc}8&-3&1&0\-4&-7&0&1\end{array}\right]$$

接下来进行行变换，目标是把左边的$A$转化为单位矩阵：

1. 第一步，让第一行的首元素变成1。我们可以把第一行乘以$\frac{1}{8}$：
   $$\left[\begin{array}{cc|cc}1&-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}&0\-4&-7&0&1\end{array}\right]$$
2. 第二步，消除第二行的第一个元素。给第二行加上4倍的第一行：
   第二行新元素计算：
   • 第一列：$-4 + 4*1 = 0$
   • 第二列：$-7 + 4*(-\frac{3}{8}) = -7 - \frac{3}{2} = -\frac{17}{2}$
   • 第三列：$0 + 4*\frac{1}{8} = \frac{1}{2}$
   • 第四列：$1 + 4*0 = 1$
     变换后矩阵：
     $$\left[\begin{array}{cc|cc}1&-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}&0\0&-\frac{17}{2}&\frac{1}{2}&1\end{array}\right]$$
3. 第三步，让第二行的首元素变成1。把第二行乘以$-\frac{2}{17}$：
   $$\left[\begin{array}{cc|cc}1&-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}&0\0&1&-\frac{1}{17}&-\frac{2}{17}\end{array}\right]$$
4. 第四步，消除第一行的第二个元素。给第一行加上$\frac{3}{8}$倍的第二行：
   第一行新元素计算：
   • 第二列：$-\frac{3}{8} + \frac{3}{8}*1 = 0$
   • 第三列：$\frac{1}{8} + \frac{3}{8}*(-\frac{1}{17}) = \frac{17}{136} - \frac{3}{136} = \frac{14}{136} = \frac{7}{68}$
   • 第四列：$0 + \frac{3}{8}*(-\frac{2}{17}) = -\frac{6}{136} = -\frac{3}{68}$
     最终变换后的矩阵：
     $$\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&\frac{7}{68}&-\frac{3}{68}\0&1&-\frac{1}{17}&-\frac{2}{17}\end{array}\right]$$
     右边的部分就是$A$的逆矩阵：$$A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{7}{68}&-\frac{3}{68}\-\frac{1}{17}&-\frac{2}{17}\end{bmatrix}$$

方法二：2×2矩阵逆矩阵公式法 #

对于任意2×2矩阵$\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}$，它的逆矩阵公式是：
$$\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix}$$
其中$ad - bc$是矩阵的行列式，只有当行列式不为0时，逆矩阵存在。

先计算矩阵$A$的行列式：
$$\det(A) = 8*(-7) - (-3)*(-4) = -56 - 12 = -68$$
然后套用公式：
$$A^{-1} = \frac{1}{-68}\begin{bmatrix}-7&3\4&8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{7}{68}&-\frac{3}{68}\-\frac{4}{68}&-\frac{8}{68}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{7}{68}&-\frac{3}{68}\-\frac{1}{17}&-\frac{2}{17}\end{bmatrix}$$
和行变换法的结果完全一致。

你的错误分析 #

你得到的结果里右上角的元素是$\frac{31}{68}$，这明显是计算失误。大概率是在最后一步行变换时，计算第一行第四列元素的时候搞错了——正确的计算应该是$\frac{3}{8}*(-\frac{2}{17}) = -\frac{6}{136} = -\frac{3}{68}$，而不是$\frac{31}{68}$，可能是符号或者乘法运算时出了差错。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mo Os