复Hilbert空间中，当S∈ℒ(E)时，为何对任意x∈E有||Sx||=sup_{||y||≤1}|⟨Sx,y⟩|？

这个问题本质上是Hilbert空间里向量范数的经典刻画，结合两个核心工具就能轻松推导明白——Cauchy-Schwarz不等式和Riesz表示定理，咱们一步步拆解：

第一步：证明上界（$\sup_{||y|| ≤ 1} |⟨Sx, y⟩| ≤ ||Sx||$） #

对任意满足$||y|| ≤ 1$的$y \in E$，根据Cauchy-Schwarz不等式，复Hilbert空间的内积满足：
$$|⟨Sx, y⟩| ≤ ||Sx|| \cdot ||y||$$
因为$||y|| ≤ 1$，所以右边直接小于等于$||Sx||$。这意味着所有$|⟨Sx, y⟩|$都被$||Sx||$限制住，因此它们的上确界自然也不会超过$||Sx||$。

第二步：证明下界（$\sup_{||y|| ≤ 1} |⟨Sx, y⟩| ≥ ||Sx||$） #

这里分两种情况讨论：

• 如果$Sx = 0$：此时两边都是0，等式显然成立。
• 如果$Sx \neq 0$：我们构造一个具体的$y$来达到上确界。取$y_0 = \frac{Sx}{||Sx||}$，显然$||y_0|| = 1$（满足$||y|| ≤ 1$的条件）。计算内积：
  $$|⟨Sx, y_0⟩| = \left|⟨Sx, \frac{Sx}{||Sx||}⟩\right| = \frac{||Sx||^2}{||Sx||} = ||Sx||$$
  这说明上确界至少能取到$||Sx||$，因此下界成立。

第三步：结合两个方向得结论 #

把上面两个不等式结合起来，就直接得到：
$$||Sx|| = \sup_{||y|| ≤ 1} |⟨Sx, y⟩|$$

额外视角：从线性泛函的角度理解 #

对于固定的$x$，映射$f_x: E \to \mathbb{C}$，定义为$f_x(y) = ⟨Sx, y⟩$，这是$E$上的有界线性泛函。根据Riesz表示定理，Hilbert空间上的每个有界线性泛函都可以唯一表示成与某个向量的内积形式，且该泛函的范数等于对应向量的范数。而线性泛函的范数定义就是：
$$||f_x|| = \sup_{||y|| ≤ 1} |f_x(y)|$$
所以直接就能得出$||f_x|| = ||Sx|| = \sup_{||y|| ≤ 1} |⟨Sx, y⟩|$，这也从另一个角度验证了原等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Student