序数α的∪(α+1)=α证明求助（对应Kelley拓扑定理124）

嘿，我来帮你理清这里的问题～首先明确定理内容：若α是序数，则∪(α+1)=α。你的第一步推导是对的，但中间的等价改写出现了关键错误，咱们一步步拆解：

先回忆几个核心定义 #

• 序数的后继定义：对于任意序数α，α+1 = α ∪ {α}（简单说就是把α本身作为新元素，加入到α的所有元素构成的集合里）。
• 集合的并集定义：$\bigcup S = {\gamma \mid \exists\beta\in S:\gamma\in\beta}$，这个你一开始写的完全正确。

你的错误点分析 #

你误以为$\bigcup(\alpha+1)={\gamma:\gamma\in\alpha+1}$，这是混淆了「属于集合S中的某个元素」和「属于集合S本身」的本质区别：

• $\gamma\in\alpha+1$意味着$\gamma\leq\alpha$（因为α+1里的元素要么是α的子集元素，要么是α自己）；
• 但$\gamma\in\bigcup(\alpha+1)$要求存在某个$\beta\in\alpha+1$，使得$\gamma\in\beta$——而$\beta\in\alpha+1$时，β只有两种可能：
  • 若$\beta<\alpha$（即β是α的元素），根据序数的传递性$\beta\subseteq\alpha$，所以$\gamma\in\beta\subseteq\alpha$，即$\gamma\in\alpha$；
  • 若$\beta=\alpha$，则$\gamma\in\alpha$直接成立；
    而且α本身不可能出现在$\bigcup(\alpha+1)$中：因为不存在$\beta\in\alpha+1$使得$\alpha\in\beta$——若$\beta<\alpha$，则$\beta\subseteq\alpha$，α不可能属于β；若$\beta=\alpha$，正则公理规定α∉α。

正确的证明推导 #

我们通过双向包含来严谨证明等式：

1. $\bigcup(\alpha+1) \subseteq \alpha$：
   任取$\gamma\in\bigcup(\alpha+1)$，则存在$\beta\in\alpha+1$使得$\gamma\in\beta$。由于$\beta\in\alpha+1$，所以$\beta\leq\alpha$：

   • 若$\beta<\alpha$，则$\beta\subseteq\alpha$，故$\gamma\in\beta\subseteq\alpha$，即$\gamma\in\alpha$；
   • 若$\beta=\alpha$，则$\gamma\in\alpha$直接成立。
     因此$\gamma\in\alpha$，即$\bigcup(\alpha+1)\subseteq\alpha$。

2. $\alpha \subseteq \bigcup(\alpha+1)$：
   任取$\gamma\in\alpha$，因为$\alpha\in\alpha+1$（由α+1的定义$\alpha+1=\alpha\cup{\alpha}$），且$\gamma\in\alpha$，根据并集的定义，$\gamma\in\bigcup(\alpha+1)$。因此$\alpha\subseteq\bigcup(\alpha+1)$。

由双向包含关系可得$\bigcup(\alpha+1)=\alpha$，这就和定理结论一致啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dog_69