证明Kelley《一般拓扑学》附录定理121：非空序数子集的交属于该子集且为最小元

定理121：若$X\subset\mathcal O$（其中$\mathcal O$表示所有序数构成的类）非空，则$\bigcap X\in X$，且它是$X$的最小元。

咱们一步步来推导这个结论：

1. 证明$\bigcap X$是传递集

   • 因为$X$是非空的序数类子集，对于任意$\gamma\in\bigcap X$，根据交集的定义，$\gamma$属于每一个$\alpha\in X$。而每个$\alpha$都是序数，序数的核心性质之一就是传递性——即若$\gamma\in\alpha$，则$\gamma$的所有元素都属于$\alpha$。因此$\gamma$的所有元素必然也属于$\bigcap X$，这就说明$\bigcap X$是传递集。

2. 证明$\bigcap X$是序数

   • 序数类$\mathcal O$按$\in$关系是良序集，而$\bigcap X$作为$\mathcal O$的子集，自然继承了这个良序性。结合第一步得出的传递性，根据序数的定义（传递且按$\in$良序的集合），$\bigcap X$本身就是一个序数。

3. 证明$\bigcap X\in X$且是$X$的最小元

   • 先假设$\bigcap X\notin X$：根据序数的三歧性（任意两个序数$\alpha,\beta$满足$\alpha\in\beta$、$\beta\in\alpha$或$\alpha=\beta$），对于每个$\alpha\in X$，要么$\alpha\in\bigcap X$，要么$\bigcap X\in\alpha$。如果$\alpha\in\bigcap X$，意味着$\alpha$属于所有$X$中的元素，即$\alpha\subset\bigcap X$；而序数的子集关系等价于$\alpha\in\bigcap X$或$\alpha=\bigcap X$，这就会推出$\alpha=\bigcap X$，与假设$\bigcap X\notin X$矛盾。因此只能是$\bigcap X\in\alpha$对所有$\alpha\in X$成立。
   • 但如果$\bigcap X\in\alpha$对所有$\alpha\in X$成立，那么$\bigcap X$本身就属于$\bigcap X$（因为交集包含所有属于每个$\alpha$的元素），这违反了序数的正则性（序数不能包含自身），所以假设不成立，$\bigcap X\in X$。
   • 最后，对于任意$\alpha\in X$，$\bigcap X\subset\alpha$（交集的定义），而序数的子集关系等价于$\bigcap X\in\alpha$或$\bigcap X=\alpha$，这就说明$\bigcap X$是$X$的最小元。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dog_69