求证：若解析函数f(z)在区域D内模为常数，则f(z)为常数

设 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) ) 在区域 ( D ) 内解析，且 ( |f(z)| = C )（( C ) 为常数）在 ( D ) 内处处成立，我们来把证明补全并梳理清楚：

步骤1：转化为实部和虚部的平方和 #

因为 ( |f(z)| = C )，所以 ( |f(z)|^2 = u^2 + v^2 = C^2 )，显然这也是一个常数。

步骤2：分情况讨论 #

• 情况1：( C = 0 )
  此时 ( |f(z)| = 0 ) 意味着 ( u = 0 ) 且 ( v = 0 )，所以 ( f(z) = 0 )，是常数，结论直接成立。

• 情况2：( C \neq 0 )
  此时 ( u^2 + v^2 = C^2 > 0 )，说明 ( D ) 内任意点处 ( u ) 和 ( v ) 不同时为0。

  你已经写出了对 ( x ) 的偏导式子，我们先把它规范下来：
  $$\frac{\partial |f(z)|^2}{\partial x} = 2u \frac{\partial u}{\partial x} + 2v \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \tag{1}$$
  同理对 ( y ) 求偏导：
  $$\frac{\partial |f(z)|^2}{\partial y} = 2u \frac{\partial u}{\partial y} + 2v \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \tag{2}$$

  因为 ( f(z) ) 解析，它满足柯西-黎曼方程：
  $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

  把柯西-黎曼方程代入(2)式，替换掉 ( \frac{\partial u}{\partial y} ) 和 ( \frac{\partial v}{\partial y} )：
  $$2u\left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right) + 2v\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) = 0$$
  两边除以2并整理得：
  $$-u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \tag{3}$$

  现在把(1)和(3)整理成关于 ( \frac{\partial u}{\partial x} ) 和 ( \frac{\partial v}{\partial x} ) 的线性方程组：
  $$
  \begin{cases}
  u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + v \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \
  v \cdot \frac{\partial u}{\partial x} - u \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0
  \end{cases}
  $$

  计算这个方程组的系数行列式：
  $$
  \begin{vmatrix}
  u & v \
  v & -u
  \end{vmatrix} = -u^2 - v^2 = -(u^2 + v^2) = -C^2 \neq 0
  $$

  由于行列式不为0，方程组只有零解：
  $$\frac{\partial u}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0$$

  再结合柯西-黎曼方程，可得：
  $$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

  这说明 ( u(x,y) ) 和 ( v(x,y) ) 在区域 ( D ) 内的一阶偏导数都为0。而 ( D ) 是连通开集（区域的定义），所以 ( u ) 和 ( v ) 都是常数，因此 ( f(z) = u + iv ) 也是常数。

补充你提到的特殊情况 #

你说的“若 ( u=0 ) 或 ( v=0 )，则 ( f(z) ) 为常数”其实是情况2下的子情况：

• 如果 ( u=0 )，则 ( v^2 = C^2 )，所以 ( v = \pm C )（常数），( f(z) = iv ) 是常数；
• 如果 ( v=0 )，则 ( u^2 = C^2 )，( u = \pm C )（常数），( f(z) = u ) 是常数。

这完全符合我们上面的一般结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Itsnhantransitive