如何用代数方法求解不等式|x - 1| + |x + 1| < 2并得出无解结论？

要代数解决这个绝对值不等式，核心思路是利用绝对值的分段定义，分区间讨论去掉绝对值符号——毕竟绝对值表达式在不同的x取值范围内，化简形式是不一样的。我们先找出绝对值内表达式的零点（也就是让绝对值里的式子等于0的x值：$x=-1$ 和 $x=1$），以此把实数轴分成三个区间逐一分析：

1. 当 $x < -1$ 时 #

此时 $x-1 < 0$，$x+1 < 0$，根据绝对值的定义：

• $|x-1| = 1 - x$
• $|x+1| = -x - 1$

将其代入原不等式：

(1 - x) + (-x - 1) < 2

化简后得到：

-2x < 2 → x > -1

但这个区间的前提是 $x < -1$，$x > -1$ 和 $x < -1$ 没有交集，因此这个区间没有解。

2. 当 $-1 ≤ x ≤ 1$ 时 #

此时 $x+1 ≥ 0$，$x-1 ≤ 0$，根据绝对值的定义：

• $|x+1| = x + 1$
• $|x-1| = 1 - x$

代入原不等式：

(1 - x) + (x + 1) < 2

化简后得到：

2 < 2

这是一个矛盾的式子，显然不成立，因此这个区间也没有解。

3. 当 $x > 1$ 时 #

此时 $x-1 > 0$，$x+1 > 0$，根据绝对值的定义：

• $|x-1| = x - 1$
• $|x+1| = x + 1$

代入原不等式：

(x - 1) + (x + 1) < 2

化简后得到：

2x < 2 → x < 1

但这个区间的前提是 $x > 1$，$x < 1$ 和 $x > 1$ 没有交集，因此这个区间同样没有解。

结论 #

三个区间都没有符合条件的x值，因此原不等式 $|x - 1| + |x + 1| < 2$ 无解，这和你通过数轴观察到的结论完全一致——任意点到-1和1的距离之和最小为2，不可能小于2。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tmakino