已知剧院票价、营收及总票数范围，求解学生票售出数量

这是个典型的线性不定方程结合范围约束的问题，咱们一步步拆解解决：

• 设定变量与核心条件：
  设售出的学生票数量为 x，常规票数量为 y，根据题目信息可以得到两个关键条件：

  1. 总收入等式：3x + 10y = 243
  2. 总票数范围：50 < x + y < 60

• 推导变量的整数约束：
  从收入等式变形可得 3x = 243 - 10y，因为 x 必须是正整数，所以 243 - 10y 必须能被3整除。由于243本身是3的倍数，因此 10y 也得是3的倍数——10不是3的倍数，所以**y 必须是3的倍数**。

• 结合票数范围缩小y的取值：
  把 x = (243 - 10y)/3 代入总票数范围，化简不等式：

  50 < (243 - 10y)/3 + y < 60
  

  先把总票数表达式通分合并：
  (243 - 10y + 3y)/3 = 81 - (7y/3)
  代入范围后拆分左右两个不等式：

  • 左边：81 - (7y/3) > 50 → 计算得 y < 13.29，即 y ≤ 13
  • 右边：81 - (7y/3) < 60 → 计算得 y > 9

  结合y是3的倍数的约束，y只能取12（9到13之间唯一的3的倍数）。

• 计算学生票数量：
  将y=12代入收入等式：
  3x = 243 - 10×12 = 123 → x = 41

• 验证结果：
  总票数为41+12=53，正好落在50到60之间，完全符合题目所有条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zhenqing Xu