求和序列正态随机变量的联合与条件分布（n>2一般情形）

你关注n>2时的一般情形确实很有价值，咱们一步步把这个问题拆解清楚：

首先，你一开始的判断完全正确：$Y_1,Y_2,...,Y_n$的联合分布确实是多元正态分布$MVN(0,\Sigma)$，下面咱们具体推导均值向量和协方差矩阵的细节：

• 均值向量：因为每个$X_i \sim N(0,1)$且相互独立，所以对任意$j$，$Y_j = \sum_{i=1}^j X_i$的期望$E[Y_j] = \sum_{i=1}^j E[X_i] = 0$，因此整个均值向量是全0向量$\mu=(0,0,...,0)^T$。

• 协方差矩阵$\Sigma$：矩阵的第$(k,l)$个元素是$Cov(Y_k,Y_l)$，咱们分两种情况看：
  假设$k \leq l$，那么$Y_k = X_1+X_2+...+X_k$，$Y_l = Y_k + X_{k+1}+...+X_l$。根据协方差的定义：
  $$
  Cov(Y_k,Y_l) = E[Y_k Y_l] - E[Y_k]E[Y_l]
  $$
  因为$E[Y_k]=E[Y_l]=0$，所以简化为$E[Y_k Y_l]$。展开乘积后，由于$X_i$相互独立，不同$X_i$和$X_m$（$i≠m$）的乘积期望为0，只有相同变量的平方期望为1（因为$E[X_i^{2]=Var(X_i)+(E[X_i])}2=1$）。所以最终只剩下前$k$个变量的平方期望之和，也就是$k$。
  如果$k > l$，同理可得$Cov(Y_k,Y_l)=l$。因此协方差矩阵的元素可以统一写成：
  $$
  \Sigma_{k,l} = \min(k,l)
  $$

举n=3的例子直观验证 #

当n=3时，协方差矩阵就是：
$$
\Sigma = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 2 \
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
对应的联合分布为$MVN\left( \begin{pmatrix}0\0\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1&1\1&2&2\1&2&3\end{pmatrix} \right)$，和你提到的二元情形推广逻辑完全一致。

最后补充一个关键依据：为什么联合分布是多元正态？根据多元正态的定义，只要随机向量的任意线性组合服从一元正态分布，它就是多元正态。对于$Y=(Y_1,...,Y_n)^{T$，任意线性组合$\sum_{j=1}}n a_j Y_j$可以转化为$\sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=i}^n a_j \right) X_i$，这是独立正态变量的线性组合，必然服从一元正态分布，完全满足多元正态的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jackdesh