求n≥1时正弦值集合几何均值Gₙ的极限及Gₙ的求解方法

没问题，我来一步步拆解这个问题～首先得明确几何均值的定义，再通过对数转换把乘积问题变成求和，最后用黎曼积分来算极限，具体步骤如下：

1. 把几何均值转成对数形式 #

对于集合里的n个元素，几何均值$G_n$是它们乘积的n次方根，也就是：
$$
G_n = \left( \prod_{k=1}^n \sin\left( \frac{\pi}{2} \cdot \frac{k}{n} \right) \right)^{1/n}
$$
直接算乘积的极限太麻烦，我们对两边取自然对数，利用对数的乘积转求和性质$\ln(ab) = \ln a + \ln b$，就能把问题简化：
$$
\ln G_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left( \sin\left( \frac{\pi}{2} \cdot \frac{k}{n} \right) \right)
$$
现在问题变成了求这个算术均值的极限，这就好办多了。

2. 用黎曼积分近似求和式 #

当n趋向无穷大时，$\frac{k}{n}$其实就是区间$[0,1]$上的均匀采样点，$\frac{1}{n}$对应积分里的微元$\Delta x$。根据黎曼积分的定义，这个求和式的极限正好等于一个定积分：
$$
\lim_{n \to \infty} \ln G_n = \int_{0}^{1} \ln\left( \sin\left( \frac{\pi}{2} x \right) \right) dx
$$

3. 计算定积分的值 #

我们做变量替换：令$t = \frac{\pi}{2}x$，那么$x = \frac{2t}{\pi}$，$dx = \frac{2}{\pi}dt$，积分上下限从$x=0\to t=0$，$x=1\to t=\frac{\pi}{2}$，积分就变成：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \cdot \frac{2}{\pi} dt = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) dt
$$
这里$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) dt$是个经典积分，结果是$-\frac{\pi}{2}\ln2$（推导思路：利用$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos t)dt$，把两个积分相加后拆分$\ln(\sin t \cos t) = \ln(\frac{\sin2t}{2})$，再做变量替换$v=2t$就能算出结果）。

代入后计算：
$$
\frac{2}{\pi} \times \left( -\frac{\pi}{2}\ln2 \right) = -\ln2
$$

4. 还原得到原极限 #

因为$\lim_{n \to \infty} \ln G_n = -\ln2$，根据指数函数的连续性，两边取自然指数：
$$
\lim_{n \to \infty} G_n = e^{-\ln2} = \frac{1}{2}
$$

核心思路总结 #

• 几何均值的乘积形式不好处理，取对数转求和是关键技巧；
• 大n的求和式可以用黎曼积分近似，把离散问题转化为连续积分；
• 利用经典积分结果快速计算，最后通过指数函数还原得到极限。

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