偶次幂多项式q(x)与p(x)的根的关联探究问询

当然有清晰的关联！我们可以从多项式的结构和根的定义一步步推导出来：

第一步：拆解p(x)p(-x)的结构 #

已知实系数n次多项式$p(x) = c_n \prod_{i=1}^n (x - r_{p,i})$，其中$r_{p,i}$是p(x)的根（实数或共轭复数对）。那么：
$$p(-x) = c_n \prod_{i=1}^n (-x - r_{p,i}) = (-1)^n c_n \prod_{i=1}^n (x + r_{p,i})$$
将两者相乘后，利用平方差公式化简：
$$p(x)p(-x) = c_n^2 (-1)^n \prod_{i=1}^n (x^2 - r_{p,i}^2)$$

第二步：转化q(x)=0的条件 #

q(x)=0等价于：
$$1 + \alpha p(x)p(-x) = 0 \implies \prod_{i=1}^n (x^2 - r_{p,i}^2) = \frac{(-1)^{n+1}}{\alpha c_n^2}$$
令$y = x^2$，则上式转化为关于y的n次方程：
$$\prod_{i=1}^n (y - r_{p,i}^2) = \frac{(-1)^{n+1}}{\alpha c_n^2}$$

第三步：q(x)的根的具体形式 #

设上述关于y的方程的n个根为$y_1, y_2, ..., y_n$，那么q(x)的2n个根就是：
$$r_{q,k} = \pm \sqrt{y_k} \quad (k=1,2,...,n)$$
每个$y_k$都满足与p(x)根的平方的乘积关系：$\prod_{i=1}^n (y_k - r_{p,i}^2) = \frac{(-1)^{n+1}}{\alpha c_n^2}$

额外的性质 #

• 因为q(x)是偶次多项式（仅含偶次幂），所以如果$s$是q(x)的根，那么$-s$也一定是根，这和上面$\pm\sqrt{y_k}$的形式完全一致。
• 由于q(x)是实系数多项式，它的根要么是实数，要么是共轭复数对：如果$y_k$是正实数，对应两个实根$\pm\sqrt{y_k}$；如果$y_k$是负实数，对应两个纯虚根$\pm i\sqrt{|y_k|}$；如果$y_k$是复数，对应两对共轭复根$\pm\sqrt{y_k}$和$\pm\overline{\sqrt{y_k}}$。

总结来说：q(x)的根是某个n次方程根的正负平方根，而这个n次方程直接由p(x)根的平方构造而来，同时和参数α、p(x)的首项系数$c_n$直接相关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sekisushai