二维欧氏空间保距映射的精确形式：是否仅为正交变换加平移？

好问题！咱们可以明确地说：所有ℝ²上的保距映射都能写成$T(x)=Ax+b$的形式，其中$A^TA=I$（即A是正交矩阵），$b\in\mathbb R^2$是固定向量——也就是说题目里给出的形式完全覆盖了所有保距映射。

下面咱们一步步拆解证明过程：

步骤1：构造原点不动的保距映射 #

先定义一个新映射 $S(x) = T(x) - T(0)$，不难验证：

• $S(0) = T(0) - T(0) = 0$，也就是S把原点映射到原点；
• S也是保距映射：对任意$a,b\in\mathbb R^2$，$|S(a)-S(b)| = |T(a)-T(0) - (T(b)-T(0))| = |T(a)-T(b)| = |a-b|$，完全满足保距的定义。

步骤2：证明S是正交线性变换 #

接下来要确认这个原点不动的S是线性的正交变换：

1. S保内积：
   令$b=0$，则$|S(x)| = |x|$，两边平方得$\langle S(x), S(x)\rangle = \langle x, x\rangle$。
   对任意$x,y\in\mathbb R^2$，利用$|S(x+y)| = |x+y|$展开平方项：
   $$\langle S(x+y), S(x+y)\rangle = \langle x+y, x+y\rangle$$
   左边展开为$\langle S(x),S(x)\rangle + 2\langle S(x),S(y)\rangle + \langle S(y),S(y)\rangle$，右边是$\langle x,x\rangle + 2\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle$。
   两边消去相等的平方项，就能得到$\langle S(x), S(y)\rangle = \langle x, y\rangle$，也就是S保持向量的内积。

2. S是线性变换：
   要证明对任意实数$a,b$和向量$x,y$，有$S(ax+by) = aS(x) + bS(y)$。咱们计算这个向量的模长平方：
   $$|S(ax+by) - aS(x) - bS(y)|^2$$
   展开后利用S保内积的性质，所有交叉项都会抵消，最终结果为0——这意味着$S(ax+by) = aS(x) + bS(y)$，所以S是线性的。

3. S是正交变换：
   线性且保内积的变换就是正交变换，对应的矩阵表示就是正交矩阵A（满足$A^TA=I$），也就是说$S(x) = Ax$。

步骤3：还原回原映射T #

既然$S(x) = Ax$，而$S(x) = T(x) - T(0)$，整理一下就能得到：
$$T(x) = Ax + b$$
其中$b = T(0)$是$\mathbb R^2$中的固定向量。

反过来也很容易验证：如果T是这种形式，那么$|T(a)-T(b)| = |A(a-b)| = |a-b|$（正交矩阵不改变向量的模长），完全符合保距映射的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mini_me