判断形如$a_{0}+a_{1}x$的多项式是否为$P_{3}$的子空间

嘿，这个问题其实是线性代数里子空间判定的经典场景，我来一步步给你拆解清楚～

首先先明确我们要讨论的对象：

• $P_3$是所有次数不超过3的实系数多项式构成的线性空间，里面的元素都长这样：$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x3$，其中$a_0,a_1,a_2,a_3$都是实数。
• 我们要判定的集合$S$，是所有形如$a_0+a_1x$的一次（或常数）实系数多项式，也就是二次项和三次项系数都是0的$P_3$中元素。

要判断一个子集是不是线性空间的子空间，只需要验证三个核心条件就行，一个都不能少：

1. 子集非空（必须包含零元素） #

零多项式$0+0x+0x^2+0x3$显然属于$S$——只要取$a_0=0$、$a_1=0$就行，所以$S$肯定不是空集，这第一个条件就满足了。

2. 对加法运算封闭 #

简单说就是：随便从$S$里拿两个多项式加起来，结果还得在$S$里。
假设我们取$p(x)=a_0+a_1x$和$q(x)=b_0+b_1x$（都是$S$里的元素），把它们加起来：
$$p(x)+q(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x$$
因为$a_0+b_0$和$a_1+b_1$都是实数（实数相加还是实数），所以这个结果完全符合$S$里元素的形式，加法封闭的条件也满足了。

3. 对数乘运算封闭 #

意思是：随便拿$S$里的一个多项式，乘以任意实数，结果还得在$S$里。
假设取$p(x)=a_0+a_1x\in S$，再取任意实数$k$，数乘之后得到：
$$k\cdot p(x)=ka_0 + ka_1x$$
同样，$ka_0$和$ka_1$都是实数（实数乘实数还是实数），这个结果也属于$S$，数乘封闭的条件也满足了。

结论 #

既然三个子空间的判定条件都满足，那形如$a_0+a_1x$的多项式集合确实是$P_3$的子空间——其实它就是我们常说的$P_1$（所有次数不超过1的实系数多项式空间），而$P_1$本身就是$P_3$的一个子空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aliasa Zarowny Pseudonymia