可微函数与仿射空间：向量空间开集是否为仿射空间？

先把你提到的可微定义明确下来：

考虑函数$F:A\to W$，其中$A\subseteq V$。若存在$T\in \text{Hom}(V,W)$使得
$$ \Delta F_a(\xi)=T(\xi)+o(\xi). $$
则称$F$在$a\in A$处可微，其中$\Delta F_a(\xi)=F(a+\xi)- F(a)$。

你纠结的点特别关键：既然A不是向量空间，这里的$a+\xi$肯定不是向量空间的加法，那它到底是什么？尤其是当A是V的开集时，是不是和仿射空间有关？

我来拆解一下：

• 首先，当A是向量空间V的开子集时，我们完全是依托V这个“大环境”的向量结构来理解$a+\xi$的。这里的$\xi$是V中的向量，而不是A里的元素；$a+\xi$就是V中向量a和ξ的加法运算结果。
• 为什么能这么做？因为A是开集——开集的核心性质就是：对里面的任意点a，总能找到一个足够小的“邻域”（比如以a为中心、半径足够小的球）完全包含在A里。所以只要$\xi$是V中范数足够小的向量，$a+\xi$就会落在这个邻域里，自然属于A，这样$F(a+\xi)$就有定义了。
• 你想到的仿射空间思路其实有点“绕远路”了，本质上我们不需要把A单独当成仿射空间，而是直接借用包围它的V的向量加法，来描述“从a点出发，沿着ξ方向走一小步”的操作——这正是开集能提供的便利：保证小步移动不会跳出定义域。

这种定义是拓扑向量空间上函数可微性的标准写法，核心就是用环境空间的结构来定义增量，开集的条件则是为了让增量后的点仍在函数的定义域内，确保运算合法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EEEB