如何用矩阵代数证明同阶方阵乘积的行列式等于行列式的乘积？

嘿，既然你已经掌握了伴随矩阵的核心公式$$|A|I = A(\text{adj }A) = (\text{adj }A)A$$，那我们完全可以从这个公式出发，避开繁琐的组合式证明，用更简洁的矩阵可逆性分析来推导$$|A·B|=|A|·|B|$$，下面分两种情况来拆解：

情况1：矩阵A可逆（$|A| \neq 0$） #

• 因为A可逆，我们可以通过伴随矩阵公式直接写出A的逆矩阵：
  $$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\text{adj }A$$
• 对矩阵AB应用伴随矩阵的核心公式，可得：
  $$|AB|I = AB(\text{adj }(AB))$$
• 两边同时左乘$A^{-1}$，代入逆矩阵的表达式：
  $$\frac{|AB|}{|A|}I = B(\text{adj }(AB))$$
• 现在观察B的伴随矩阵公式：$$|B|I = B(\text{adj }B)$$，由于数量矩阵表示唯一（即若$B X = kI$，则k必为$|B|$，X必为$\text{adj }B$），因此可以直接得出：
  $$\frac{|AB|}{|A|} = |B|$$
• 整理后就得到了我们要的结论：$$|AB| = |A|·|B|$$

情况2：矩阵A不可逆（$|A| = 0$） #

• 当A不可逆时，根据伴随矩阵公式$$A(\text{adj }A) = |A|I = 0$$，这说明$\text{adj }A$的所有列向量都是线性方程组$Ax=0$的解，而A不可逆意味着$Ax=0$存在非零解，即A的秩$r(A) < n$（n为矩阵阶数）。
• 矩阵AB的列向量本质上是A的列向量的线性组合（AB的第j列是A乘以B的第j列），因此AB的秩满足$r(AB) \leq r(A) < n$，这说明AB同样不可逆。
• 不可逆矩阵的行列式为0，因此：
  $$|AB| = 0 = |A|·|B|$$

两种情况都验证了公式的正确性，整个过程完全依赖你已经掌握的伴随矩阵公式，没有用到复杂的组合求和，应该符合你的需求~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SOORAJ SOMAN