零测度集求和疑问：Lebesgue测度下μ(A)=0的推论是否成立

嘿，这个问题其实核心是结合无穷级数的收敛性和测度的非负性来分析，我尽量用通俗易懂的语言给你拆解：

首先先明确你式子的含义：$\sum_{i=0}^\infty \mu(A)$ 应该是把同一个 $\mu(A)$ 重复相加无穷次，也就是等价于 $\mu(A) \times \infty$（当项数趋向无穷时）。接下来分两种情况讨论：

• 如果 $\mu(A) > 0$：
  无穷多个正数相加的结果必然是 $+\infty$，这和题目里给出的 $1 \ge \sum_{i=0}^\infty \mu(A)$ 矛盾——毕竟无穷大不可能小于等于1。所以这种情况不可能成立。

• 如果 $\mu(A) = 0$：
  无穷多个0相加的结果还是0，显然满足 $0 \le 1$，完全符合题目的条件。

另外补充一点：这里的结论其实和是不是Lebesgue测度关系不大，只要是满足非负性的测度（这是所有测度的基本性质），这个推导都成立。因为测度的取值范围是非负实数，而我们用到的只是实数无穷级数的最基础收敛规则：只有当每一项都是0时，无穷个非负项的和才会是有限值（这里是≤1）。

举个直观的例子：假设 $\mu(A)=0.01$，那加100次就等于1了，加101次就超过1，更别说无穷次相加，结果肯定会趋向无穷大，根本不可能被1限制住。只有当 $\mu(A)=0$ 时，无论加多少次，结果都还是0，不会突破1的上限。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lo Scrondo