互素整数下阿贝尔群元素阶与循环群同构问题问询

咱们接着把这个同构证明补全，步骤很清晰：

先明确已知与前置结论 #

• 已知：$m,n$ 是互素整数；$C_m$ 是 $m$ 阶循环群，$C_n$ 是 $n$ 阶循环群
• 前置结论(a)：若阿贝尔群 $G$ 含阶为 $m$ 的元素 $x$ 和阶为 $n$ 的元素 $y$，则 $xy$ 的阶为 $mn$
• 已推导的基础：在直积 $C_m \times C_n$ 中，取 $C_m$ 的生成元 $g$（满足 $\text{ord}(g)=m$），$C_n$ 的生成元 $h$（满足 $\text{ord}(h)=n$），则：
  • $x=(g,e_n)$ 生成子群 $\langle x \rangle = C_m$（$e_n$ 是 $C_n$ 的单位元），且 $\text{ord}(x)=m$
  • $y=(e_m,h)$ 生成子群 $\langle y \rangle = C_n$（$e_m$ 是 $C_m$ 的单位元），且 $\text{ord}(y)=n$

正式推导步骤 #

1. 确认直积是阿贝尔群
   循环群本身是阿贝尔群，两个阿贝尔群的直积依然是阿贝尔群，所以 $C_m \times C_n$ 满足前置结论(a)的“阿贝尔群”前提。

2. 计算元素 $xy$ 的阶
   代入前置结论(a)：因为 $\text{ord}(x)=m$，$\text{ord}(y)=n$，且 $m,n$ 互素，所以 $\text{ord}(xy) = mn$。这里 $xy=(g,e_n)(e_m,h)=(g,h)$，这个元素的阶就是 $mn$。

3. 判定直积为循环群
   有限群的阶等于其生成元的阶时，该群是循环群：

   • $|C_m \times C_n| = |C_m| \times |C_n| = m \times n$
   • 我们已经找到 $C_m \times C_n$ 中存在阶为 $mn$ 的元素 $xy$，因此 $C_m \times C_n$ 是 $mn$ 阶循环群。

4. 同构结论
   所有同阶的循环群都是互相同构的，因此 $C_m \times C_n \cong C_{mn}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user337254