Hausdorff空间收缩核闭性证明疑问：r(z)=z是否必然推出z∈Y？

最近在解决拓扑学的一个问题，题目内容如下：

设$Z$是拓扑空间，若存在连续映射$r:Z \rightarrow Y$，使得对所有$y \in Y$有$r(y)=y$，则称$Y \subset Z$是$Z$的收缩核。证明：若$Z$是Hausdorff空间且$Y$是$Z$的收缩核，则$Y$在$Z$中是闭集？

我查阅了不少相关资料后发现，绝大多数解法都依赖一个默认事实：若$z \in Z$满足$r(z)=z$，则$z \in Y$。但严格抠题目的定义来看，题目里只明确了收缩核映射$r$会把$Y$中的每个点映射到自身，并没有直接规定只有$Y$内的点才会满足$r(z)=z$，这一点让我有点困惑，总觉得这个默认的前提是不是需要额外的推导或者说明？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user193319