求证或证伪：交换群G上的映射f(a)=a⁻¹是否为同构映射

AI 小北

2026-5-19

嘿，你的判断完全正确！这个映射 ( f: G \to G, f(a)=a^{-1} ) 确实是交换群 ( G ) 到自身的同构映射，咱们一步步把证明拆解开，每一步都讲清楚～

证明f是同构映射的完整步骤

要证明一个映射是群同构，需要满足三个核心条件：是单射、是满射、保持群运算（同态性）。咱们逐个验证：

1. 证明f是单射

单射的定义是：如果 ( f(a) = f(b) )，那么必然有 ( a = b )。

假设对于 ( a,b \in G )，有 ( f(a) = f(b) )，也就是 ( a^{-1} = b^{-1} )。
对等式两边同时取逆元：
左边：( (a^{-1}){-1} = a )（群中元素的逆元的逆元就是它本身）
右边：( (b^{-1}){-1} = b )
所以 ( a = b )，单射得证。

2. 证明f是满射

满射的定义是：对于任意 ( g \in G )，都存在某个 ( a \in G )，使得 ( f(a) = g )。

任取 ( g \in G )，咱们取 ( a = g^{-1} )（因为群中每个元素都有逆元，所以 ( g^{-1} ) 一定在 ( G ) 里）。
计算 ( f(a) )：
( f(a) = f(g^{-1}) = (g^{-1}){-1} = g )
这说明每个 ( g ) 都能找到对应的原像 ( a = g^{-1} )，满射得证。

3. 证明f保持群运算（同态性）

同态性要求：对于任意 ( a,b \in G )，都有 ( f(ab) = f(a)f(b) )。

先计算左边：( f(ab) = (ab)^{-1} )，根据群逆元的性质，( (ab)^{-1} = b^{-1}a{-1} )。
再计算右边：( f(a)f(b) = a^{-1}b{-1} )。
因为 ( G ) 是交换群，群运算满足交换律 ( ab = ba )，对这个等式两边同时取逆元，可得 ( b^{-1}a{-1} = a^{-1}b{-1} )。
所以左边 ( (ab)^{-1} = b^{-1}a{-1} = a^{-1}b{-1} = f(a)f(b) )，同态性得证。