求证：赋予子空间度量的ℤ的任意子集均为开集

没问题，咱们一步步来拆解这个证明，先把核心前提和定义理清楚：

已知条件与核心定义 #

• 我们将整数集ℤ视为实数集ℝ的子空间，继承ℝ上的标准度量：$d(x,y)=|x-y|$
• 要证结论：ℤ的任意子集都是开集
• 度量空间开集的官方定义：

设$(X,d)$为度量空间，子集$U⊆X$是开集当且仅当对每个$x∈U$，存在$r>0$使得开球$B(x,r)⊆U$，其中开球$B(x,r)={y∈X \mid d(x,y)<r}$

具体证明步骤 #

1. 任取ℤ的任意子集$U$（不管$U$是单元素集、有限集还是无限集，都适用）
2. 任取$x∈U$，我们需要找到一个正数$r$，使得ℤ子空间里的开球$B_ℤ(x,r)$完全包含在$U$里
3. 观察整数的特性：任意两个不同整数之间的距离至少是1。那我们取$r=\frac{1}{2}$（这个正数选得很巧妙，刚好卡在相邻整数的中间）
4. 先看ℝ中的开球$B_ℝ(x,\frac{1}{2})$，它是实数区间$(x-\frac{1}{2}, x+\frac{1}{2})$，这个区间里没有任何其他整数——毕竟离$x$最近的整数是$x-1$和$x+1$，距离都是1，都不在这个区间里
5. 所以ℤ子空间里的开球$B_ℤ(x,\frac{1}{2})=B_ℝ(x,\frac{1}{2})∩ℤ={x}$，而$x∈U$，显然${x}⊆U$，也就是$B_ℤ(x,\frac{1}{2})⊆U$
6. 因为$x$是$U$中任意选取的元素，完全满足度量空间开集的定义条件，所以$U$是ℤ子空间中的开集
7. 由于$U$是ℤ的任意子集，因此我们可以得出结论：ℤ的所有子集都是开集

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user531499