非零向量方程中标量k的求解：已知(k+1)(k-2)a+ka=2a求k值

嘿，这个问题的核心是利用非零向量的关键性质——如果非零向量$\mathbf{a}$满足$m\mathbf{a} = n\mathbf{a}$，那么系数$m$必须等于$n$。咱们一步步来拆解计算：

1. 展开并合并同类项 #

先把原方程写出来：
(k+1)(k-2)a + ka = 2a

首先展开左边第一个乘积项：
$(k+1)(k-2) = k^2 - 2k + k - 2 = k^2 - k - 2$

把这个结果代回原方程，左边就变成：
$(k^2 - k - 2)\mathbf{a} + k\mathbf{a}$

接下来提取公因子$\mathbf{a}$，合并同类项：
$[k^2 - k - 2 + k]\mathbf{a} = (k^2 - 2)\mathbf{a}$

这时候原方程简化为：
$(k^2 - 2)\mathbf{a} = 2\mathbf{a}$

2. 移项整理成标准形式 #

把右边的$2\mathbf{a}$移到左边，让等式右边为零向量：
$(k^2 - 2 - 2)\mathbf{a} = 0$
也就是：
$(k^2 - 4)\mathbf{a} = 0$

3. 利用非零向量性质求解k #

题目明确说$\mathbf{a}$是非零向量，要让$(k^2 - 4)\mathbf{a} = 0$成立，唯一的可能就是系数为零（因为非零向量乘以非零标量不可能得到零向量）：
$k^2 - 4 = 0$

解这个二次方程：
$k^2 = 4$
所以$k = 2$ 或者 $k = -2$

验证结果 #

• 当$k=2$时，左边=$(2+1)(2-2)\mathbf{a} + 2\mathbf{a} = 0 + 2\mathbf{a} = 2\mathbf{a}$，等于右边，成立；
• 当$k=-2$时，左边=$(-2+1)(-2-2)\mathbf{a} + (-2)\mathbf{a} = (-1)(-4)\mathbf{a} -2\mathbf{a} = 4\mathbf{a}-2\mathbf{a}=2\mathbf{a}$，也等于右边，成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fish_In_A_Suit