离散实值随机变量特定条件概率不等式是否成立的技术求证

结论先行：这个不等式不一定成立，你的直觉存在误区——“更大的样本空间”并不意味着条件概率一定会更高，因为新加入的样本子集可能会拉低整体的概率值。

我们先把你给出的条件概率展开来分析：

首先，左侧的条件概率可以拆解为：
$$
Pr(X=x| Y=y \text{ or } Y=\tilde{y}, Z=z)=\frac{Pr(X=x,Y=y|Z=z) + Pr(X=x,Y=\tilde{y}|Z=z)}{Pr(Y=y|Z=z) + Pr(Y=\tilde{y}|Z=z)}
$$
而右侧的概率是：
$$
Pr(X=x| Y=y, Z=z)=\frac{Pr(X=x,Y=y | Z=z)}{Pr(Y=y | Z=z)}
$$

本质上，左侧是两个条件概率$Pr(X=x|Y=y,Z=z)$和$Pr(X=x|Y=\tilde{y},Z=z)$的加权平均，权重分别是$Pr(Y=y|Z=z)$和$Pr(Y=\tilde{y}|Z=z)$。如果$Pr(X=x|Y=\tilde{y},Z=z)$远小于右侧的概率值，那么加权后的结果就会低于右侧的原概率。

举个具体的反例：
假设我们固定$Z=z$（可以简化为不考虑Z的影响），设定以下概率：

• $Pr(X=x|Y=y)=0.8$，$Pr(Y=y)=0.1$
• $Pr(X=x|Y=\tilde{y})=0.1$，$Pr(Y=\tilde{y})=0.9$

计算左侧概率：
$$
Pr(X=x|Y=y \text{ or } Y=\tilde{y}) = \frac{0.80.1 + 0.10.9}{0.1+0.9} = 0.17
$$
而右侧概率是$0.8$，显然$0.17 < 0.8$，直接推翻了原不等式。

总结一下：当你把“Y=y”的样本空间扩展到包含“Y=ỹ”时，相当于把两个不同的条件概率做了加权平均。如果新加入的子集对应的X=x概率更低，那么整体概率会被拉低，反而小于原条件下的概率。只有当$Pr(X=x|Y=\tilde{y},Z=z) \geq Pr(X=x|Y=y,Z=z)$时，原不等式才成立，但这并不是必然情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Star