求x趋近于0时(eˣ+1/eˣ-2cosx)/(xtanx)的极限，计算出错求助

你好！问题确实出在你把$e^x + \frac{1}{e^x}$直接替换成2这一步——这个近似太粗糙了，忽略了关键的高阶小项，而这些项恰好会影响最终的极限结果。我们来一步步拆解这个问题：

你之所以出错，是因为当$x \to 0$时，$e^x + e^{{-x}$的近似不能只取常数项。虽然$e}x \approx 1$、$e^{-x} \approx 1$，但它们的高阶项（比如$x^2$项）在和$2\cos x$相减时，会抵消并产生新的非零项，不能直接忽略。

我们可以用泰勒展开来精确计算分子和分母的等价无穷小：

1. 先展开分子中的各项：

   • $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
   • $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
     两者相加得：$e^x + e^{-x} = 2 + x^2 + o(x^2)$（三次项相互抵消了）
   • $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，所以$2\cos x = 2 - x^2 + o(x^2)$

   代入分子：
   $$
   e^x + \frac{1}{e^x} - 2\cos x = (2 + x^2 + o(x^2)) - (2 - x^2 + o(x^2)) = 2x^2 + o(x^2)
   $$

2. 再处理分母$x\tan x$：
   $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，所以：
   $$
   x\tan x = x \cdot (x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)) = x^2 + o(x^2)
   $$

3. 最后求极限：
   $$
   \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \frac{1}{e^x} - 2\cos x}{x\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + o(x^2)}{x2 + o(x^2)} = 2
   $$

如果你习惯用洛必达法则，也可以尝试：
因为当$x \to 0$时，分子分母都趋近于0，满足洛必达条件：

• 第一次求导：分子$e^x - e^{-x} + 2\sin x$，分母$\tan x + x\sec^2 x$，依然是0/0型；
• 第二次求导：分子$e^x + e^{-x} + 2\cos x$，分母$2\sec^2 x + 2x\sec^2 x \tan x$；
  代入$x=0$：分子$1+1+2=4$，分母$2+0=2$，所以极限是$4/2=2$，和泰勒展开的结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Soumil Aggarwal