吸收态是否必然为常返态？基于定义的推导是否正确？

你的推导完全正确，吸收态确实属于常返态，咱们结合你给出的定义一步步理清楚：

先明确两个核心定义 #

• 吸收态：状态i为吸收态当且仅当p_{ii}=1，且对所有j≠i，p_{ij}=0——简单说就是一旦进入状态i，就再也无法离开。
• 常返态（persistent）：若状态i返回自身k次的概率p^k_{ii}=1（对任意正整数k都成立），则状态i为常返态。

具体推导验证 #

对于吸收态i：

1. 已知p_{ii}=1，所以第一步从i回到i的概率就是1；
2. 第二步时，因为第一步已经处于i状态，而p_{ii}=1，所以p^2_{ii}=p_{ii}*p_{ii}=1*1=1；
3. 以此类推，对任意正整数k，p^k_{ii}=1^k=1，完全满足你给出的常返态定义。

另外补充一点：从马尔可夫链的标准常返态定义（首次返回自身的概率f_{ii}=1）来看，吸收态的首次返回时间就是1步，概率为1，同时平均返回时间是1（有限值），所以它不仅是常返态，还是正常返态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathematicing