已知a,b,c≠0，三阶行列式等式求证及化简方法咨询

嘿，这一步其实就是提取公因式的基础代数操作，咱们一步步拆解，你很快就能明白：

方法一：反向验证（从目标式倒推） #

先把你要得到的目标表达式展开，看看是不是和你算出来的行列式结果一致：

对 abc\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) 逐项展开：

• abc \times 1 = abc
• abc \times \frac{1}{a} = bc（因为a≠0，可以直接约掉）
• abc \times \frac{1}{b} = ac（同理b≠0，约掉b）
• abc \times \frac{1}{c} = ab（c≠0，约掉c）
  把这些项加起来就是 abc + bc + ac + ab，和你通过余子式展开得到的行列式结果完全一致，这就证明了两个表达式是等价的。

方法二：正向推导（从你的结果变形到目标式） #

既然你已经得到 \det = bc + ac + ab + abc，我们可以利用a,b,c≠0的条件，把每一项都用abc来表示：

• bc = abc \times \frac{1}{a}
• ac = abc \times \frac{1}{b}
• ab = abc \times \frac{1}{c}
• abc = abc \times 1

把这些替换回原式：

det = abc×(1/a) + abc×(1/b) + abc×(1/c) + abc×1

最后提取公因式abc，把剩余部分合并到括号里：

det = abc\left(1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)

这样就完成了化简，核心就是利用非零条件把各项转化为含公因式abc的形式，再提取公因式即可～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Swam