双曲函数恒等式推导验证：sinh2x=2·sinhx·coshx推导是否正确

你的推导思路是对的，但中间有一步计算细节出错了，咱们来一步步拆解修正：

首先先明确双曲函数的基础定义：

• $\sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• $\cosh{x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

现在对照你的推导步骤逐一分析：

1. 第一步：$\sinh{2x} = 2 \cdot \sinh{x} \cdot \cosh{x}$ —— 这是我们要证明的目标恒等式，作为推导起点没问题
2. 第二步：代入定义得到 $2 \cdot \frac{e^x - e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ —— 这一步完全正确
3. 第三步：你写成了 $\frac{2 \cdot e^{2x} - e^{-2x}}{4}$ —— 这里出错了！$(e^x - e^{-x})(ex + e^{-x})$ 是平方差公式，结果应该是 $e^{2x} - e^{-2x}$，然后要和外面的2相乘，所以分子应该是 $2 \cdot (e^{2x} - e^{-2x})$，你漏了括号，导致项的运算关系错误
4. 第四步：修正后化简 $\frac{2 \cdot (e^{2x} - e^{-2x})}{4} = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$，而这正好是 $\sinh{2x}$ 的定义，推导就完全成立了

总结来说：你的核心方向没毛病，只是展开平方差时的小疏漏导致中间步骤出错，修正这个细节后，整个推导就完全正确啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jwan622