基于两点与已知Z轴的相机位姿估计问题求解

针对你提出的仅绕Z轴旋转的相机位姿求解问题（已知两个3D点及其对应投影点），我整理了对应的核心推导框架与表达式：

核心投影约束公式 #

我们的求解基础来自针孔相机的投影模型，对于已知的一对3D点 ( P^1 )、( P^2 ) 及其图像投影点 ( p^1 )、( p^2 )，存在如下约束关系：
$$ \lambda^1\cdot p^1 = R_z(\phi)P^1 + T \ \lambda^2\cdot p^2 = R_z(\phi) P^2 + T $$
其中：

• ( \lambda^1 )、( \lambda^2 ) 是对应投影点的深度缩放因子（正实数）
• ( R_z(\phi) ) 是绕Z轴旋转角度 ( \phi ) 的旋转矩阵
• ( T = [T_x, T_y, T_z]^T ) 代表相机的平移向量

齐次坐标下的位姿矩阵形式 #

如果转换到4维齐次坐标体系，上述投影关系可以写成更直观的矩阵乘法形式：
$$ \begin{pmatrix} \lambda^1\cdot p_x^1 \ \lambda^1\cdot p_y^1 \ \lambda^1\cdot p_z^1\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 & T_x \ \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 & T_y \ 0 & 0 & 1 & T_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_x^1 \ P_y^1 \ P_z^1 \ 1 \end{pmatrix} $$
这里的4×4矩阵就是相机的齐次位姿矩阵，完整包含了绕Z轴的旋转分量和平移分量。

如果要进一步求解具体的 ( \phi )、( T ) 和深度因子，你可以尝试消去两个等式中的 ( T )，得到仅关于 ( \phi ) 和深度的方程，先解出旋转角度，再反推平移向量与深度值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Claus