关于《ℙ¹×ℙ¹上算术Cohen-Macaulay点集》中双分次零点定理的真实性问询

嘿，我最近在读Elena Guardo与Adam Van Tuyl所著的《ℙ¹×ℙ¹上算术Cohen-Macaulay点集》（谷歌图书上可查阅部分内容）。不过我对文中提出的**双分次零点定理（Bigraded Nullstellensatz）**的真实性存在疑问；该定理的表述如下：

定理2.11（双分次零点定理）若$I\subset R=k[x_1,x_2,y_1,y_2]$是一个双齐次理想，且$F\in R$是一个次数$\deg F\neq (0,0)$的双齐次多项式，满足对所有$P\in V(I)\subset \mathbb P^1\times \mathbb P^1$都有$F(P)=0$，则……

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hiro Wat