证明特定3×3实系数行列式恒为零的技术求助

已知 (a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R})，需要证明：
$$
\begin{vmatrix}
(a+b)de-(d+e)ab & de-ab & a+b-d-e \
(b+c)ef-(e+f)bc & ef-bc & b+c-e-f \
(c+d)fa-(f+a)cd & fa-cd & c+d-f-a
\end{vmatrix}=0
$$

你已经尝试把行列式改写为：
$$
\begin{vmatrix}
x_1x_3-x_2x_4 & x_3-x_4 & x_1-x_2 \
y_1y_3-y_2y_4 & y_3-y_4 & y_1-y_2 \
z_1z_3-z_2z_4 & z_3-z_4 & z_1-z_2
\end{vmatrix}
$$
其中 (x_1=a+b, x_2=d+e,x_3=de, x_4=ab)，其余变量按循环方式定义，这个变量替换的思路其实已经帮我们简化了观察的难度，接下来可以用行列式的线性相关性性质直接证明：

核心证明思路：发现列向量的线性组合关系 #

我们只需要验证行列式的第一列是第二列和第三列的线性组合，根据行列式的基本性质：如果某一列（或行）是其他列（或行）的线性组合，那么行列式的值为0。

以第一行为例，我们对三个列元素做代数变形：
第一行第一列元素：(C_1 = (a+b)de - (d+e)ab)
第一行第二列元素：(C_2 = de - ab)
第一行第三列元素：(C_3 = (a+b) - (d+e))

计算 (C_1 - (a+b) \cdot C_2)：
$$
\begin{align*}
(a+b)de - (d+e)ab - (a+b)(de - ab) &= (a+b)de - (d+e)ab - (a+b)de + (a+b)ab \
&= - (d+e)ab + (a+b)ab \
&= ab \cdot \left[(a+b) - (d+e)\right] \
&= ab \cdot C_3
\end{align*}
$$

整理一下就得到：
$$C_1 = (a+b) \cdot C_2 + ab \cdot C_3$$

用同样的方法对第二行、第三行做变形：

• 第二行：(C_1' = (b+c) \cdot C_2' + bc \cdot C_3')
• 第三行：(C_1'' = (c+d) \cdot C_2'' + cd \cdot C_3'')

这说明整个行列式的第一列完全可以由第二列和第三列线性表示，也就是说三个列向量线性相关，因此行列式的值必然为0。

这个方法不需要引入过多变量，直接通过代数变形就能抓住行列式的核心性质，是不是比继续扩展变量要简洁很多？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AndrewC