请求提供阿基米德抛物线三个性质的古希腊证明（参考《抛物线求积法》）

嘿，咱们来拆解阿基米德在《抛物线求积法》里用到的三个核心抛物线性质——这些在他那个时代的几何圈子里应该是常识，但咱们还是用古希腊式的纯几何思路把证明还原出来，完全不用现代代数那套，贴合当时的逻辑：

性质1：抛物线弓形顶点处的切线平行于弓形的底 #

首先明确定义：抛物线弓形的“顶点”是弓形上到弦（即弓形的底）距离最大的点。

证明：
假设过顶点P的切线PT不平行于弓形的底AB，那么PT必然会与AB延长线交于某点T。根据抛物线切线的定义，抛物线的所有点都在切线的一侧，而AB在切线的另一侧，所以我们能在弓形上找到一点Q，它位于PT靠近AB的一侧，此时Q到AB的距离会大于P到AB的距离——这直接与P是“到AB距离最大的顶点”的定义矛盾。因此，过P的切线必须平行于AB。

性质2：过抛物线弓形顶点作平行于抛物线轴的直线（直径），会平分所有平行于弓形底的弦 #

这条平行于轴的直线被古希腊人称为抛物线的“直径”，它的核心作用是平分一组平行弦。

证明：
设AB为弓形的底，P为顶点，过P作平行于轴的直径PV。取任意一条平行于AB的弦DE，交PV于点F。
根据性质1，过P的切线平行于AB和DE。过D、E分别作平行于轴的直线，交这条切线于D'、E'，此时四边形PD'DF和PE'EF都是平行四边形，因此PD'=DF，PE'=FE。
根据抛物线的基本几何性质：对于抛物线上的点，平行于轴的线段长度与该点到切线的平行距离（沿切线方向）满足平方比例关系。而PV作为直径，是这组平行弦的对称轴，因此PD'=PE'，进而DF=FE，即PV平分DE。对于所有平行于AB的弦，这个结论都成立。

性质3：从弓形底的两端作平行于轴的直线，交顶点处的切线于两点，形成的两个三角形面积相等，且均为顶点三角形面积的2倍 #

证明：
设AB为弓形的底，P为顶点，过P的切线平行于AB（性质1）。过A作平行于轴的直线交切线于A'，过B作平行于轴的直线交切线于B'。
首先，AA'和BB'都平行于轴，切线A'B'平行于AB，因此四边形AA'B'B是平行四边形，AA'=BB'，AB=A'B'。
连接AP、BP，交A'B'于M、N。由于A'B'平行于AB，且PV（直径）平分AB（性质2），根据平行线分线段成比例，M、N分别是AP、BP的中点。
观察面积：△APB的面积等于(AB × P到AB的距离)/2。而BB'的长度等于2倍的P到AB的距离（因为PV是△ABB'的中位线，V是AB中点且PV平行于BB'），因此△ABB'的面积为(AB × BB')/2 = (AB × 2×P到AB的距离)/2 = AB × P到AB的距离，恰好是△APB面积的2倍。同理，△BAA'的面积也是△APB的2倍，因此这两个三角形面积相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TomF