参数化曲面的克里斯托费尔符号：正交标架下黎曼曲率计算需求

嘿，我来一步步帮你搞定这个参数化图曲面在正交切丛标架下的黎曼曲率计算～你已经选了一个不错的正交切向量方向，那我们顺着这个思路往下走：

首先，我们的曲面是$\mathbb{R}^3$中的图曲面，参数化$\phi(x,y)=(x,y,f(x,y))$，自然切向量是$\partial_x=(1,0,f_x)$和$\partial_y=(0,1,f_y)$，但它们并不正交（内积为$f_x f_y$）。

你给出的切向量$\frac{\partial}{\partial \varphi_1} = -f_y \partial_x + f_x \partial_y$是垂直于曲面梯度方向的切向量，我们再配上一个和它正交的切向量：
$$\frac{\partial}{\partial \varphi_2} = f_x \partial_x + f_y \partial_y$$
验证正交性：$\langle \partial_{\varphi_1}, \partial_{\varphi_2} \rangle = (-f_y)f_x + f_x f_y = 0$，完美。

接下来把它们归一化得到单位正交标架：
令$S = f_x^2 + f_y^2$，则：
$$e_1 = \frac{1}{\sqrt{S}} \partial_{\varphi_1} = \frac{-f_y \partial_x + f_x \partial_y}{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}}$$
$$e_2 = \frac{1}{\sqrt{S(1+S)}} \partial_{\varphi_2} = \frac{f_x \partial_x + f_y \partial_y}{\sqrt{(f_x^2 + f_y^2)(1 + f_x^2 + f_y^2)}}$$
这里$1+S$是自然切向量模长平方的组合项，保证$e_2$是单位向量。

对于2维曲面，黎曼曲率的核心是高斯曲率$K$，它可以通过正交标架下的联络形式外微分得到：

• 黎曼联络满足度量相容性：$\nabla_{e_i}e_j = \sum_k \omega_{jk}(e_i)e_k$，其中$\omega_{ij}=-\omega_{ji}$（反对称），且$\omega_{ii}=0$（因为单位向量的协变导数在自身方向的分量为0）。
• 曲率形式$\Omega_{12} = d\omega_{12}$，而高斯曲率$K = \Omega_{12}(e_1,e_2)$，对应的黎曼张量分量为：
  $$R(e_1,e_2)e_1 = K e_2, \quad R(e_1,e_2)e_2 = -K e_1$$
  其他分量要么为0，要么由反对称性推导。

我们可以利用$\mathbb{R}^3$中的欧氏联络来推导：曲面的协变导数$\nabla_X Y$是$\mathbb{R}^3$中欧氏导数$\overline{\nabla}_X Y$在曲面切平面上的投影。

首先计算$\mathbb{R}^3$中的二阶导数：
$$\overline{\nabla}{\partial_x}\partial_x=(0,0,f{xx}),\quad \overline{\nabla}{\partial_x}\partial_y=(0,0,f{xy}),\quad \overline{\nabla}{\partial_y}\partial_y=(0,0,f{yy})$$

通过展开协变导数$\nabla_{e_1}e_2$、$\nabla_{e_2}e_1$，并计算联络形式$\omega_{12}$的外微分，最终可以推导出图曲面的高斯曲率公式：
$$K = \frac{f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2}{(1 + f_x^2 + f_y²⁾2}$$

在你选择的单位正交标架${e_1,e_2}$下，黎曼曲率张量的非零分量由高斯曲率$K$决定：

• $R(e_1,e_2)e_1 = K e_2$
• $R(e_1,e_2)e_2 = -K e_1$
• 所有由指标反对称性导出的分量（比如$R(e_2,e_1)e_1 = -K e_2$等）也非零，其余分量均为0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者An Coileanach