用数学归纳法证明交换矩阵两行改变行列式符号

咱们一步步来，从基础情况到归纳推导，把这个线性代数里的经典结论严谨地证明清楚：如果A、B都是n×n矩阵，且B是通过交换A的第i行与第j行（1≤i<j≤n）得到的，那么$\det(B) = -\det(A)$。

1. 基础情况：n=2阶矩阵 #

这情况特别直观，直接计算就能验证。假设A是2阶矩阵：
$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$
交换它的两行得到B：
$$B = \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{11} & a_{12} \end{pmatrix}$$
计算行列式：

• $\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$
• $\det(B) = a_{21}a_{12} - a_{22}a_{11} = -(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) = -\det(A)$
  显然结论成立。

2. 归纳假设 #

假设对于所有n-1阶矩阵（n≥3），交换任意两行后，新矩阵的行列式等于原矩阵行列式的相反数。这个假设是我们推导n阶情况的核心依据。

3. 归纳步骤：n阶矩阵的情况 #

现在考虑n阶矩阵A和交换第i、j行得到的B。我们把$\det(B)$按第1列展开（选第1列只是方便，选任意列都可以）：
$$
\det(B) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} b_{k1} M_{k1}(B)
$$
这里$b_{k1}$是B的第k行第1列元素，$M_{k1}(B)$是去掉B的第k行和第1列后得到的n-1阶矩阵的行列式（也就是余子式）。

结合B和A的关系（仅交换i、j行，其他行完全一致），我们可以把展开式拆成三部分：

• 当$k \neq i,j$时，$b_{k1}=a_{k1}$，而且$M_{k1}(B)=M_{k1}(A)$（因为去掉的行不是i或j，剩下的矩阵和A去掉对应行的矩阵完全一样），这部分和$\det(A)$展开式的对应项完全相同。
• 当$k=i$时，$b_{i1}=a_{j1}$，对应的余子式$M_{i1}(B)$是去掉B的第i行（也就是A的第j行）和第1列得到的n-1阶矩阵，也就是$M_{j1}(A)$。
• 当$k=j$时，$b_{j1}=a_{i1}$，对应的余子式$M_{j1}(B)$是去掉B的第j行（也就是A的第i行）和第1列得到的n-1阶矩阵，也就是$M_{i1}(A)$。

把这些代入$\det(B)$的展开式，得到：
$$
\det(B) = \sum_{k \neq i,j} (-1)^{k+1}a_{k1}M_{k1}(A) + (-1)^{i+1}a_{j1}M_{j1}(A) + (-1)^{j+1}a_{i1}M_{i1}(A)
$$

再看$\det(A)$按第1列的展开式：
$$
\det(A) = \sum_{k \neq i,j} (-1)^{k+1}a_{k1}M_{k1}(A) + (-1)^{i+1}a_{i1}M_{i1}(A) + (-1)^{j+1}a_{j1}M_{j1}(A)
$$

现在对比两者的中间两项：
我们可以把$\det(B)$的中间两项提取一个负号，得到：
$$
(-1)^{i+1}a_{j1}M_{j1}(A) + (-1)^{j+1}a_{i1}M_{i1}(A) = - \left[ (-1)^{i+1}a_{i1}M_{i1}(A) + (-1)^{j+1}a_{j1}M_{j1}(A) \right]
$$

这样一来，$\det(B)$的所有项就是$\det(A)$对应项的相反数，也就是：
$$\det(B) = -\det(A)$$

这就完成了n阶情况的证明。根据数学归纳法，对于任意正整数n，这个结论都成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ArsenBerk