证明p上K素数与双商H\G/G_w的双射及局部次数等式

别担心，这个问题是数域Galois理论里关于分解群与素理想分解的经典结论，咱们一步步来拆解证明，思路就清晰啦～

先明确几个基本对应：

• 因为L是K的Galois闭包，所以L/K是Galois扩张，对应Galois群H=Gal(L/K)，且K是H在L中的不动域（即K=L^H）。
• G=Gal(L/ℚ)对L中p上方的素数集有传递作用，而H对K中v上方的素数集也有传递作用（因为L/K是Galois扩张）。

我们分三步证明这个映射是双射：

1. 映射是well-defined的 #

任取双商HσG_w中的两个代表元σ和σ'=hσg，其中h∈H，g∈G_w：

• 因为g∈G_w（w的分解群），所以g(w)=w，因此σ'w = hσg(w) = hσ(w)。
• 又因为h∈Gal(L/K)，h在K上的作用是恒等映射，所以h(σw ∩ K) = σw ∩ K。也就是说，σ'w ∩ K = σw ∩ K，无论选哪个代表元，映射结果都是同一个K中的素理想v。因此映射是良定义的。

2. 映射是满射 #

任取K中p上方的素数v，v可以延拓为L中的某个素数w'。由于L/ℚ是Galois扩张，G对p上方的素数有传递作用，因此存在σ∈G使得σ(w)=w'。此时σw ∩ K = w' ∩ K = v，对应的双商就是HσG_w，说明每个v都有对应的双商，满射得证。

3. 映射是单射 #

假设HσG_w和HτG_w对应同一个v，即σw ∩ K = τw ∩ K = v。那么τ⁻¹σw ∩ K = τ⁻¹(v) = v（τ在K上的限制是K/ℚ的自同构，会把p上方的素数映到p上方的素数，而这里τ⁻¹σw与K的交集是v，说明τ⁻¹σw是v在L上的延拓）。

• 因为L/K是Galois扩张，H对v在L上的所有延拓有传递作用，所以存在h∈H使得h(τ⁻¹σw)=w。
• 这意味着hτ⁻¹σ ∈ G_w，即σ ∈ τh⁻¹G_w ⊆ τHG_w，因此HσG_w = HτG_w，单射得证。

综上，这个映射是双射。

我们先回忆几个局部扩张次数的基本结论：

• 对于Galois扩张L/ℚ，w的分解群G_w的阶等于局部扩张次数，即|G_w| = [L_w:ℚ_p]（这里p在L中不分歧的条件其实不影响这个结论，这是分解群的核心性质之一）。
• 对于Galois扩张L/K，局部扩张L_w/K_v的Galois群等于H ∩ G_{σw}，其中G_{σw}是σw的分解群，而G_{σw}=σG_wσ⁻¹（共轭的分解群对应共轭的素理想），因此Gal(L_w/K_v)=H ∩ σG_wσ⁻¹，其阶为|H ∩ σG_wσ⁻¹|，对应的局部次数[L_w:K_v] = |H ∩ σG_wσ⁻¹|。

接下来利用域扩张次数的塔式法则：

[L_w:ℚ_p] = [L_w:K_v] · [K_v:ℚ_p]

代入上面的结论可得：

[K_v:ℚ_p] = [L_w:ℚ_p] / [L_w:K_v] = |G_w| / |H ∩ σG_wσ⁻¹|

现在看双商HσG_w的大小，根据群论中双陪集的阶数公式：两个子群H和A的双陪集HxA的大小等于|H|·|A|/|H∩A|，这里取A=σG_wσ⁻¹，那么：

|HσG_w| = |H·σG_wσ⁻¹| = |H|·|σG_wσ⁻¹| / |H ∩ σG_wσ⁻¹|

由于σG_wσ⁻¹与G_w共轭，阶数相等（即|σG_wσ⁻¹|=|G_w|），因此：

|HσG_w| / |H| = |G_w| / |H ∩ σG_wσ⁻¹|

对比上面两个式子，就得到：

[K_v:ℚ_p] = |HσG_w| / |H|

这样就完成了证明～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bob Jones