Fejer核有界性证明问询：证$F_N(x)\leq\min\{N,\frac{C}{Nx^2}\}$

嘿，你已经完成了最关键的一步啦！接下来只需要把你得到的结论和$F_N(x) \leq N$这个结论结合起来，就能轻松得到题目要求的上界估计了，我来给你梳理清楚：

先明确已知条件和目标 #

首先回顾一下问题背景：

设$F_N(x)$表示第$N$个Fejér核，定义为：
$$F_N(x)=\frac{1}{N}\frac{\sin^{2(\frac{Nx}{2})}{\sin}2(\frac{x}{2})} \quad \forall x\in[-\pi,\pi]\setminus{0}$$
$$F_N(0)=N$$

我们需要证明：存在固定常数$C>0$，使得对所有$x\in[-\pi,\pi]$，有$F_N(x)\leq \min{N,\frac{C}{Nx^2} }$

你已经证得：对所有$x \in[-\pi,\pi]\setminus{0}$，$F_N(x)\leq \frac{\pi^2}{Nx2}$。

后续推导：补充$F_N(x) \leq N$的证明 #

现在只需要证明$F_N(x) \leq N$对所有$x \in [-\pi,\pi]$成立，然后结合你已有的结论，就能得到$\min$的上界了。

这里有个非常直接的证明方法：
利用几何级数的模长估计，我们知道对于任意实数$x$，有：
$$\left| \sum_{k=0}^{N-1} e^{ikx} \right| = \left| \frac{\sin(\frac{Nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \right|$$
而左边的几何级数模长显然不超过项数$N$（每个$e^{ikx}$的模都是1，由三角不等式可得），因此：
$$\left| \frac{\sin(\frac{Nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \right| \leq N$$
两边平方后得到：
$$\frac{\sin^{2(\frac{Nx}{2})}{\sin}2(\frac{x}{2})} \leq N^2$$
代入Fejér核的定义：
$$F_N(x) = \frac{1}{N} \cdot \frac{\sin^{2(\frac{Nx}{2})}{\sin}2(\frac{x}{2})} \leq \frac{1}{N} \cdot N^2 = N$$
对于$x=0$的情况，$F_N(0)=N$，显然也满足$F_N(x) \leq N$。

合并结论得到最终结果 #

现在我们有两个上界：

1. 对所有$x \in [-\pi,\pi]$，$F_N(x) \leq N$；
2. 对所有$x \in [-\pi,\pi]\setminus{0}$，$F_N(x) \leq \frac{\pi^2}{Nx2}$；
3. 当$x=0$时，$\frac{C}{Nx^2}$是无穷大，$\min{N, \infty} = N$，刚好等于$F_N(0)$。

所以对于所有$x \in [-\pi,\pi]$，$F_N(x)$必然小于等于这两个上界中的较小值，也就是：
$$F_N(x) \leq \min\left{N, \frac{\pi^2}{Nx2}\right}$$
取$C=\pi^2$，就满足题目要求的固定常数条件了。

另一种从头开始的完整思路（供参考） #

如果想从头完整证明，也可以分区间讨论：

• 当$|x| \leq \frac{\pi}{\sqrt{N}}$时：
  此时$\frac{\pi^2}{Nx2} \geq \frac{\pi^2}{N \cdot \frac{\pi^2}{N}} = 1 \leq N$，所以$\min{N, \frac{\pi^2}{Nx2}} = N$，而我们已经证明$F_N(x) \leq N$，成立。
• 当$|x| > \frac{\pi}{\sqrt{N}}$时：
  此时$\frac{\pi^2}{Nx2} < \frac{\pi^2}{N \cdot \frac{\pi^2}{N}} = 1 \leq N$，所以$\min{N, \frac{\pi^2}{Nx2}} = \frac{\pi^2}{Nx2}$，而你已经证得$F_N(x) \leq \frac{\pi^2}{Nx2}$，成立。

这样分区间讨论后，也能得到同样的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者paarth