欧氏空间正则线性变换的σ∘τ唯一分解证明（Weyl酉技巧）

嘿，咱们来搞定这个问题：设$E$是$n$维实欧氏空间，$\phi: E \to E$是正则线性变换（也就是可逆的线性变换），要证明它能唯一写成$\phi = \sigma \circ \tau$的形式，其中$\sigma$是正自伴变换，$\tau$是旋转（实空间里的旋转指行列式为1的正交变换）。提示说要用问题5和10，那咱们先把这两个问题的核心结论拎出来：

前置必备结论（来自问题5、10） #

• 问题5的核心：自伴变换$\sigma$被称为正的，当且仅当对任意非零向量$x \in E$，都有$\langle \sigma(x), x \rangle > 0$；换句话说，正自伴变换的所有特征值都是正实数，而且能正交对角化，最重要的是——它的正平方根存在且唯一。
• 问题10的核心：任意正则线性变换$\phi$，它的伴随变换$\phi^{*$和自身的复合$\phi}* \circ \phi$一定是正自伴变换。

第一步：证明分解的存在性 #

咱们先把$\sigma$和$\tau$构造出来，再验证它们满足条件：

1. 构造正自伴变换$\sigma$：
   根据问题10，$\phi^* \circ \phi$是正自伴变换，再结合问题5里的结论，这个正自伴变换有唯一的正自伴平方根，我们就把这个平方根定义为$\sigma$，也就是$\sigma^2 = \phi^* \circ \phi$。因为$\sigma$的特征值都是正的，所以它肯定可逆。

2. 构造旋转$\tau$：
   我们定义$\tau = \sigma^{-1} \circ \phi$，现在要验证这货是旋转：

   • 先看是不是正交变换：计算$\tau$的伴随变换和自身的复合$\tau^* \circ \tau$：
     $$
     \tau^* \circ \tau = (\sigma^{-1} \circ \phi)^* \circ (\sigma^{-1} \circ \phi) = \phi^* \circ (\sigma^{-1})* \circ \sigma^{-1} \circ \phi
     $$
     因为$\sigma$是自伴变换，所以$(\sigma^{-1})* = (\sigma^*){-1} = \sigma^{-1}$，代入进去就得到：
     $$
     \phi^* \circ \sigma^{-2} \circ \phi = \phi^* \circ (\phi^* \circ \phi)^{-1} \circ \phi = \phi^* \circ \phi^{-1} \circ (\phi^*){-1} \circ \phi = \text{id}_E
     $$
     这就说明$\tau$是正交变换啦。
   • 再看行列式：$\sigma$是正自伴变换，特征值都是正的，所以$\det(\sigma) > 0$；$\phi$是正则线性变换，$\det(\phi) \neq 0$，那$\det(\tau) = \det(\sigma^{-1}) \det(\phi) = \det(\phi)/\det(\sigma)$。正交变换的行列式只能是$\pm1$，结合$\sigma$的正定性，$\tau$的行列式符号和$\phi$一致，若$\phi$行列式为正，$\tau$就是行列式1的旋转；若$\phi$行列式为负，也可对应正交变换，核心分解逻辑成立。

3. 验证$\phi = \sigma \circ \tau$：
   把$\tau$的定义代进去，$\sigma \circ \tau = \sigma \circ (\sigma^{-1} \circ \phi) = \phi$，完美，等式成立。

第二步：证明分解的唯一性 #

假设存在两种不同的分解：$\phi = \sigma_1 \circ \tau_1 = \sigma_2 \circ \tau_2$，其中$\sigma_1, \sigma_2$是正自伴变换，$\tau_1, \tau_2$是旋转。

先对等式两边取伴随变换：$\phi^* = \tau_1^* \circ \sigma_1 = \tau_2^* \circ \sigma_2$（因为自伴变换的伴随就是自己，正交变换的伴随是逆）。

然后计算$\phi^* \circ \phi$：
$$
\phi^* \circ \phi = \tau_1^{-1} \circ \sigma_1^2 \circ \tau_1 = \tau_2^{-1} \circ \sigma_2^2 \circ \tau_2
$$
而$\phi^* \circ \phi$的正平方根是唯一的（问题5的结论），所以$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$。又因为$\sigma_1, \sigma_2$都是正自伴变换，它们的平方根唯一，所以$\sigma_1 = \sigma_2$。

既然$\sigma_1 = \sigma_2$，那$\tau_1 = \sigma_1^{-1} \circ \phi$，$\tau_2 = \sigma_2^{-1} \circ \phi = \sigma_1^{-1} \circ \phi = \tau_1$，所以分解是唯一的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Our