Coq中合取式中非泛化命题的引入及存在性目标证明咨询

嘿，我来帮你搞定这两个Coq证明里的问题，一步步给你讲清楚：

当你有一个合取形式的假设（比如 H : A /\ B），想要单独提取其中的A或者B来用，最直接的方式是用destruct策略拆分这个合取式：

• 执行 destruct H as [HA HB] 之后，上下文中就会多出两个独立的假设：HA : A 和 HB : B，你可以直接用它们来推进证明。

如果只是临时需要合取式的某一部分，也可以用投影函数proj1（取左半部分）和proj2（取右半部分），比如：

• 用 exact (proj1 H) 直接把合取式的左半部分作为结论；
• 或者用 apply proj1 in H，把原假设H转换成HA : A。

给你举个简单的实例：

Goal forall A B : Prop, A /\ B -> A.
Proof.
  intros A B H.
  (* 拆分合取式，只保留左半部分 *)
  destruct H as [HA _].
  exact HA.
Qed.

用投影函数的简化版本：

Goal forall A B : Prop, A /\ B -> A.
Proof.
  intros A B H.
  (* 直接取合取式的左半部分作为结论 *)
  exact (proj1 H).
Qed.

首先得明确：假设里的P应该是对应某个具体nat实例的（比如你有上下文n : nat，H : P n），而目标是要找到一个x使得P x /\ Q x。这种情况下，revert和generalize确实可以帮你调整上下文，让证明更顺畅，不过也有更直接的思路，我都给你讲讲：

用revert的场景 #

假设你的上下文是n : nat、H : P n，目标是exists x, P x /\ Q x：

1. 执行 revert H，会把假设H移到目标里，此时目标变成 P n -> exists x, P x /\ Q x；
2. 再用intro H把它拉回上下文，之后就可以用exists n指定x的取值，把目标拆分成P n /\ Q n，再分别用H和其他假设/引理证明两部分。

实例代码：

Variables (P Q : nat -> Prop).
Goal forall n : nat, P n -> exists x, P x /\ Q x.
Proof.
  intros n H.
  (* 把H移到目标中，调整上下文结构 *)
  revert H.
  intro H.
  (* 指定x为n *)
  exists n.
  split.
  - exact H.  (* 用H证明P n *)
  - (* 这里补充Q n的证明逻辑即可 *)
Admitted.

不用revert的直接解法 #

其实很多时候你不需要特意用revert，直接指定x的取值就行：比如上面的例子，直接exists n，然后split，用H证明P n，再处理Q n就好。

什么时候用generalize？ #

如果想把某个具体的假设转换成全称量化的形式，可以用generalize。比如你有H : P n，执行generalize n会把n移到目标里，变成forall n : nat, P n -> exists x, P x /\ Q x，这和最开始的目标结构一致；如果是generalize (H)，会把上下文里的n和H绑定，生成一个更通用的假设。

总的来说，revert和generalize是调整上下文的工具，能帮你把假设和目标的关系理得更清楚，但这个问题里不一定是必须的，看你的证明路径选择。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Diego Recabarren