关于归纳法证明不等式及阶乘极限求解的技术咨询

我来帮你梳理这两个问题的思路——先是极限计算的步骤推导，再是归纳法证明不等式的具体方法：

A. 证明积分等于$A_n$ #

直接用分部积分法计算定积分：
我们知道不定积分$\int \log x , dx = x\log x - x + C$（对这个结果求导验证：$\frac{d}{dx}(x\log x -x) = \log x + 1 -1 = \log x$，完全正确）。

代入上下限1到n：
$$
\int_{1}^{n}\log x,\mathrm{d}x = \left[x\log x -x\right]_{1}^{n} = (n\log n -n) - (1\cdot\log1 -1)
$$
因为$\log1=0$，所以化简后就是$n\log n -n +1$，也就是题目里的$A_n$。

B. 证明右黎曼和$B_n \geq A_n$ #

首先明确：在区间$[1,n]$的划分${1,2,...,n}$下，$\log x$的右黎曼和$B_n$是每个子区间$[k-1,k]$（$k=2,3,...,n$）上取右端点$k$的函数值乘以区间长度1，再求和：
$$
B_n = \sum_{k=2}^{n} \log k \cdot (k - (k-1)) = \sum_{k=2}^{n}\log k = \log(n!)
$$
（因为$\log1=0$，加进去不影响结果，所以也可以写成$\sum_{k=1}^n \log k$）

由于$\log x$在$(0,+\infty)$上是单调递增函数，对于单调递增函数，右黎曼和是积分的上和——每个子区间上，右端点的函数值是该区间的最大值，因此每个矩形的面积必然大于等于对应区间上曲线下的面积。把所有子区间的结果加起来，就得到：
$$
A_n = \int_{1}^{n}\log x dx \leq B_n = \log(n!)
$$
这其实直接就得到了你一开始要证的不等式，不过我们再单独说说归纳法的思路。

归纳法证明$n\log n -n +1 \leq \log(n!)$的建议 #

按归纳法的标准步骤来：

1. 基础情况验证：

   • 当$n=1$时，左边是$1\cdot\log1 -1 +1=0$，右边是$\log1!=0$，不等式成立；
   • 当$n=2$时，左边是$2\log2 -2 +1≈1.386-1=0.386$，右边是$\log2≈0.693$，不等式也成立。

2. 归纳假设：
   假设对于某个整数$k\geq1$，不等式成立，即：
   $$
   k\log k -k +1 \leq \log(k!)
   $$

3. 归纳步骤推导：
   我们需要证明当$n=k+1$时，不等式也成立，即：
   $$
   (k+1)\log(k+1) - (k+1) +1 \leq \log((k+1)!)
   $$
   注意到$\log((k+1)!) = \log(k!) + \log(k+1)$，把归纳假设代入右边，只需证明：
   $$
   (k+1)\log(k+1) -k \leq \log(k!) + \log(k+1)
   $$
   把右边的$\log(k+1)$移到左边，化简左边：
   $$
   (k+1)\log(k+1) - \log(k+1) -k = k\log(k+1) -k
   $$
   所以问题转化为证明：
   $$
   k\log(k+1) -k \leq \log(k!)
   $$
   根据归纳假设，$\log(k!) \geq k\log k -k +1$，因此只要证明：
   $$
   k\log(k+1) -k \leq k\log k -k +1
   $$
   两边同时除以$k$（$k\geq1$，正数，不等号方向不变）：
   $$
   \log(k+1) -1 \leq \log k -1 + \frac{1}{k}
   $$
   进一步化简得到：
   $$
   \log\left(1+\frac{1}{k}\right) \leq \frac{1}{k}
   $$
   这个不等式是成立的！我们可以用函数单调性验证：令$f(x)=\log(1+x)-x$，$x>0$，则$f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}<0$，说明$f(x)$在$x>0$时单调递减，而$f(0)=0$，所以$x>0$时$f(x)<0$，即$\log(1+x)<x$。令$x=\frac{1}{k}$，就得到$\log\left(1+\frac{1}{k}\right)<\frac{1}{k}$，满足$\leq$的要求。

   这样归纳步骤就完成了，由数学归纳法，原不等式对所有正整数$n$成立。

关于极限$\lim_{n\to \infty}\frac{n!e^{n}}{n{n}}$的补充 #

从前面的结论可以推导这个极限的趋势：
由$A_n \leq \log(n!)$，指数化后得到：
$$
e^{n\log n -n +1} \leq n! \implies \frac{e n^n}{en} \leq n! \implies \frac{n! e^n}{nn} \geq e
$$
再结合左黎曼和的结论（$\log((n-1)!) \leq A_n$），指数化后可得：
$$
(n-1)! \leq \frac{e n^n}{en} \implies n! \leq \frac{e n^{n+1}}{en} \implies \frac{n! e^n}{nn} \leq e n
$$
而斯特林公式$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$会告诉我们，$\frac{n! e^n}{nn} \sim \sqrt{2\pi n}$，当$n\to\infty$时趋向于$+\infty$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lucas