如何求$(x+x^{-1}+x^2+x^{-2})^{15}$二项展开式的不同项数？

你的变形思路非常棒！把原式转化为$x^{-30}(1+x+x3+x⁴⁾{15}$之后，问题就简化为分析$(1+x+x^3+x4)^{15}$的展开式中不同幂次的数量——因为平移幂次（整体减30）不会改变项数的多少，所以我们先聚焦后者。

第一步：因式分解简化多项式 #

先对括号里的多项式做因式分解，能大幅降低分析难度：
$$1+x+x^3+x4 = (1+x) + x^3(1+x) = (1+x)(1+x^3)$$
因此原式可以拆成两个二项式的乘积：
$$(1+x)^{15}(1+x3)^{15}$$

第二步：分析两个二项式的展开幂次 #

• $(1+x)^{15}$的展开式中，幂次覆盖0到15的所有整数（每个整数幂次都存在，因为二项式系数全为正，没有缺失项）。
• $(1+x³⁾{15}$的展开式中，幂次是0,3,6,...,45（即3的倍数，从0到$15×3=45$，每个3的倍数幂次都存在）。

第三步：分析乘积的幂次范围 #

两个多项式相乘，展开后的幂次是$a + b$，其中：

• $a \in {0,1,2,...,15}$（来自$(1+x)^{15}$）
• $b \in {0,3,6,...,45}$（来自$(1+x³⁾{15}$）

我们需要确认0到60之间的所有整数幂次是否都能被表示为$a+3b$（$a∈0-15, b∈0-15$）：
对于任意整数$k∈[0,60]$，把$k$写成$k=3q + r$（$r=0,1,2$，即$k$除以3的余数）：

• 若$r=0$：取$a=0$，$b=q$（当$q≤15$）；或取$a=k-45$（此时$k-45≤15$，因为$k≤60$），$b=15$（当$q>15$）。
• 若$r=1$：取$a=1$，$b=q$（当$q≤15$）；或取$a=k-45$（此时$k-45≥1$且$≤15$），$b=15$（当$q>15$）。
• 若$r=2$：取$a=2$，$b=q$（当$q≤15$）；或取$a=k-45$（此时$k-45≥2$且$≤15$），$b=15$（当$q>15$）。

举几个例子验证：

• $k=16=13+3×1$（$a=13, b=1$）
• $k=49=4+3×15$（$a=4, b=15$）
• $k=59=14+3×15$（$a=14, b=15$）

可以看到，0到60的所有整数幂次都能被表示，所以$(1+x+x^3+x4)^{15}$有$60-0+1=61$个不同的幂次项。

第四步：平移幂次得到最终结果 #

乘以$x^{-30}$后，所有幂次都减去30，得到的幂次范围是$-30$到$30$，每个整数幂次都存在，不同项数仍然是61。

所以最终展开式中的不同项数是61。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jacky