关于序数类非空子类∩X⊂X证明第一步的合理性疑问

嘿，你这个困惑完全合理——作者的第一步表述其实有省略甚至容易误导的地方，咱们来把这个逻辑掰扯清楚：

先澄清核心定义与误解 #

首先明确两个关键概念：

• 序数类$\mathcal O$的传递性：这里的传递性指的是「任何序数的元素仍然是序数」，也就是如果$\alpha \in \mathcal O$（$\alpha$是序数）且$\beta \in \alpha$，那么$\beta \in \mathcal O$（$\beta$也是序数）。但这个性质不能直接推出X是序数——毕竟$\mathcal O$的子类不一定是序数，比如取$X={2,4}$，两个元素都是序数，但X本身不是序数（因为4的元素3不在X中，X不满足序数的传递集要求）。
• 序数的定义：一个集合/类$\gamma$是序数，当且仅当它是传递集（若$a \in \gamma$且$b \in a$，则$b \in \gamma$），且$\gamma$上的$\in$关系是良序关系。

修正后的正确逻辑链 #

作者的证明逻辑明显省略了关键前提，正确的推导应该对应以下步骤：

1. 前提补全：要么作者默认了X是$\mathcal O$的传递子类（即若$\alpha \in X$且$\beta \in \alpha$，则$\beta \in X$），要么是笔误——作者实际想表达的是「$\bigcap X$是序数」而非「X是序数」。
   • 如果是前者（X是传递子类）：结合$\mathcal O$的传递性，X的元素都是序数，且X自身是传递集，再加上$\mathcal O$的良序性，才能推出X是序数；
   • 如果是后者（$\bigcap X$是序数）：因为$\bigcap X$的元素都是每个$\alpha \in X$的元素，而$\alpha$是序数，所以这些元素都是序数（$\mathcal O$的传递性），同时$\bigcap X$本身是传递集且满足良序，因此是序数。
2. 若X是序数（或默认X的传递性），根据序数的核心性质：序数的每个元素都是它的真子集；
3. 任取$z \in \bigcap X$，意味着z属于X中的每一个元素$\alpha$。如果X是序数，那么$\alpha \subset X$，因此$z \in \alpha \subset X$，自然$z \in X$，由此得出$\bigcap X \subset X$。

关于你核心疑问的总结 #

作者说「因$\mathcal O$是传递类，故X是序数」，本质是省略了关键前提：

• 要么是默认X是$\mathcal O$的传递子类，结合$\mathcal O$的传递性和良序性才能推出X是序数；
• 要么是笔误，把「$\bigcap X$是序数」写成了「X是序数」——毕竟$\bigcap X$作为序数的交集，确实能由$\mathcal O$的传递性直接推出是序数。

另外补充一点：如果原命题没有「X是传递子类」或「X是序数」的前提，那么$\bigcap X \subset X$这个结论不一定成立（比如$X={3,4}$，$\bigcap X=3$，但3的元素0,1,2都不在X中，3并不包含于X），这也侧面说明作者的证明确实遗漏了前提。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dog_69