指数德西特膨胀下哈勃参数H(z)与红移z的依赖关系问询

咱们先直接拆解核心问题：在标准的指数德西特膨胀模型里，哈勃参数的行为其实很明确，但你提到的两种说法对应了不同的语境（甚至是概念混淆），我来帮你理清楚：

1. 为什么标准德西特模型里$H(z)$是常数？ #

首先回忆两个关键定义：

• 哈勃参数的本质是宇宙膨胀的瞬时速率，公式是 $H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$，其中$\dot{a}(t)$是尺度因子的时间导数；
• 红移$z$的定义是 $1+z = \frac{a(t_0)}{a(t)}$，这里$a(t_0)$是当前时刻的尺度因子，$a(t)$是对应红移$z$时刻的尺度因子。

对于指数德西特模型，尺度因子的演化是 $a(t) = a(0)\exp(Ht)$（这里如果$a(0)$是当前时刻的尺度因子，那$t=0$就是现在）。把这个代入哈勃参数的公式：
$\dot{a}(t) = H \cdot a(0)\exp(Ht) = H \cdot a(t)$，所以 $H(t) = \frac{H \cdot a(t)}{a(t)} = H$——显然，哈勃参数是个不随时间变化的常数。

而红移$z$只是时间的另一种表述方式，既然$H(t)$不随时间变，那$H(z)$自然也和$z$无关，始终等于常数$H$。如果这里的$H$就是当前的哈勃常数$H(0)$，那结论就是$H(z)=H(0)$，全程不变。

2. 为什么会有$H(z)=(1+z)H(0)$的说法？ #

这个说法并不适用于标准的德西特膨胀模型，大概率来自以下几种概念混淆：

• 混淆了德西特模型和其他宇宙演化阶段：比如在物质主导或辐射主导的宇宙中，哈勃参数确实随红移变化（物质主导时$H(z)\approx(1+z)^{{3/2}H(0)$，辐射主导时$H(z)\approx(1+z)}2H(0)$），但德西特模型是暗能量主导的极端情况，物质和辐射的密度可以忽略，哈勃参数不会随红移改变；
• 错误的推导：有人可能错误地把尺度因子和红移的关系套进哈勃参数的计算里，比如误以为$a(t) \propto 1/(1+z)$（这个关系在物质/辐射主导阶段近似成立，但德西特是指数膨胀，$a(t) \propto \exp(Ht)$，所以$1+z = \exp(H(t_0-t))$，是指数关系而非反比关系），强行推导就会得到错误的比例；
• 混淆了不同时期的哈勃参数：如果讨论的是早期宇宙的德西特暴胀阶段，那时的哈勃参数（暴胀哈勃）远大于当前的$H(0)$，两者之间并没有$(1+z)$的比例关系，这种说法是把暴胀时期的哈勃和当前哈勃错误关联了。

总结一下：只有当宇宙处于严格的德西特膨胀（暗能量主导，物质/辐射可忽略）时，哈勃参数是常数，不随红移变化；$H(z)=(1+z)H(0)$的说法并不属于这个模型的正确结论，而是概念混淆或错误推导的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Hunter