基于单位元和余单位元的Lax/colax幺半伴随及相关刻画问询

这个问题问到点子上了！当我们把严格的monoidal/opmonoidal伴随拓展到lax/colax的松弛情形时，单位元和余单位元的自然变换性质确实会对应地调整，核心的刻画逻辑和严格版本一脉相承，只是结构要求更灵活：

基础前提：伴随对与幺半函子 #

假设我们有伴随对 $(F \dashv G)$，其中 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$，$G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$，单位元 $\eta: \text{id}\mathcal{C} \to GF$，余单位元 $\epsilon: FG \to \text{id}\mathcal{D}$。和严格monoidal伴随一样，lax/colax版本需要函子本身带有lax或colax幺半结构，同时单位元、余单位元要成为对应的幺半自然变换，且满足结构相容的三角恒等式。

Lax幺半伴随的具体定义 #

一个lax幺半伴随需要满足以下配对条件：

• $F$ 是lax幺半函子：自带结构映射 $F(X) \otimes F(Y) \to F(X \otimes Y)$（把两个对象的函子像张量积映射到它们张量积的函子像），以及单位对象的结构映射 $I \to F(I)$，且这些映射满足幺半函子的交换公理；
• $G$ 是colax幺半函子：自带结构映射 $G(A \otimes B) \to G(A) \otimes G(B)$（把张量积的函子像拆成两个对象函子像的张量积），以及单位对象的结构映射 $G(I) \to I$，满足对应的交换公理；
• 单位元 $\eta$ 是lax幺半自然变换：作为从严格幺半函子 $\text{id}_\mathcal{C}$ 到lax幺半函子 $GF$ 的自然变换，它的结构映射要和 $GF$ 的lax结构相容；
• 余单位元 $\epsilon$ 是colax幺半自然变换：作为从colax幺半函子 $FG$ 到严格幺半函子 $\text{id}_\mathcal{D}$ 的自然变换，它的结构映射要和 $FG$ 的colax结构相容；
• 伴随的三角恒等式 $\epsilon F \circ F\eta = \text{id}_F$ 和 $G\epsilon \circ \eta G = \text{id}_G$ 不能只作为普通自然变换成立，还要在幺半自然变换的层面上成立——也就是说，它们的结构映射也要满足对应的交换条件。

Colax幺半伴随（对偶情形） #

完全对偶地，colax幺半伴随的条件是：

• $F$ 是colax幺半函子，$G$ 是lax幺半函子；
• 单位元 $\eta$ 是colax幺半自然变换，余单位元 $\epsilon$ 是lax幺半自然变换；
• 三角恒等式同样在幺半自然变换的层面上成立。

和严格monoidal伴随的关联 #

当所有lax/colax结构映射都是同构时，lax/colax幺半伴随就退化成你提到的严格monoidal或opmonoidal伴随——这时候单位元和余单位元的自然变换也会变成严格的monoidal自然变换，和你说的nLab上的定义完全对应。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M. Learner