非相交曲线的重新参数化与C¹曲线等价类数量问询

首先，我们先明确问题里的核心定义和约束：

• 给定$A \subset \mathbb{R}$，存在单射$C^1$映射$f: [a,b] \rightarrow A$，这说明$A$中至少包含一个闭区间（因为单射$C^1$映射从紧区间$[a,b]$到$\mathbb{R}$的像必然是紧且连通的，也就是闭区间）。
• 等价关系定义：两个$C^1$函数$g,h: [a,b] \rightarrow A$等价，当且仅当存在微分同胚$\phi: [a,b] \rightarrow [a,b]$（满足$\phi(a)=a$，$\phi(b)=b$），使得$h = g \circ \phi$。

关键分析步骤 #

1. 单射$C^1$映射的单调性
   对于任何单射$C^1$映射$g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$，其导数$g'$要么恒正（严格递增），要么恒负（严格递减）：

   • 如果$g'$在某点为0且变号，根据罗尔定理，会存在两点函数值相等，与单射矛盾；
   • 若$g'$恒为0，则$g$是常函数，不满足单射。

2. 保端点微分同胚的性质
   满足$\phi(a)=a$，$\phi(b)=b$的微分同胚$\phi: [a,b] \rightarrow [a,b]$必然是严格递增的：

   • 微分同胚是双射$C^1$映射，导数非零；若$\phi$严格递减，则$\phi(b)$会等于$\phi(a)=a$，与$\phi(b)=b$矛盾。

3. 等价类的划分

   • 第一类：严格递增的单射$C^1$映射
     任取两个严格递增的单射$C^1$映射$g,h: [a,b] \rightarrow A$，满足$g(a)=h(a)=p$，$g(b)=h(b)=q$（$p<q$），我们可以构造$\phi(t) = g^{-1}(h(t))$：

     • $g$严格递增，故$g^{-1}$是$C1$严格递增映射；
     • $\phi(a)=g^{-1}(h(a))=g{-1}(p)=a$，$\phi(b)=g^{-1}(q)=b$；
     • $\phi'(t) = \frac{h'(t)}{g'(g^{-1}(h(t)))} \neq 0$，故$\phi$是微分同胚。
       因此所有这类映射属于同一个等价类。

   • 第二类：严格递减的单射$C^1$映射
     同理，任取两个严格递减的单射$C^1$映射$g,h: [a,b] \rightarrow A$，满足$g(a)=h(a)=q$，$g(b)=h(b)=p$（$q>p$），构造$\phi(t)=g^{-1}(h(t))$，同样可证$\phi$是保端点的微分同胚，故这类映射也属于同一个等价类。

   • 两类之间不可等价
     假设存在严格递增的$g$和严格递减的$h$等价，即$h = g \circ \phi$，则$h(a)=g(\phi(a))=g(a)$，$h(b)=g(\phi(b))=g(b)$。但$h$严格递减，故$h(a)>h(b)$，而$g$严格递增，$g(a)<g(b)$，矛盾。因此两类互不相交。

结论 #

当$A$是连通的（即$A$是$\mathbb{R}$中的区间，这也是“非相交曲线”的自然场景），该等价关系下的等价类数量为2：一类是严格递增的单射$C^{1$映射，另一类是严格递减的单射$C}1$映射。

如果$A$是非连通的（比如多个不相交闭区间的并），等价类数量会更多——每个连通分支（区间）对应两个等价类（递增/递减），但题目语境是“非相交曲线的重新参数化”，默认曲线的像连通，因此核心结论是等价类数量为2。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SKumar